1.5平方差公式（第二课时）课件 2022-2023学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 ZYT 1.5 整式的乘法 第2课时 平方差公式的运用 ZYT 导入新知 复习导入 1.问：平方差公式是怎样的？ (a+b)(a−b)=a2−b2 2.利用平方差公式计算： （1）(2x+7b)(2x–7b)； （2）(－m+3n)(m+3n). 3.你能快速的计算201×199吗？ 4x2－49b2 9n2－m2 ZYT 学习目标 1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简 便运算； 2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的 思想方法. 探究新知 平方差公式的几何验证 知识点 1 ZYT （3）比较（1）、（2）的结果，你发现了什么？ 边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形 （1）请用代数式表示图1阴影部分的面积 （2）小颖将阴影部分沿着虚线剪下拼成了一个长方形（图2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示它的面积吗？ a2-b2 (a+b)(a-b) (a+b)(a-b) =a2-b2 a b a-b a-b a+b a-b 探究新知 ZYT 想一想 数据的特点可运用平方差公式简化计算 (1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点: (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？ (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗? 7×9= 8×8= 11×13= 12×12= 79×81= 80×80= 63 64 143 144 6399 6400 (a+b)(a−b)=a2−b2 平方差公式 (a-1) (a+1) = a2 – 1 典例精析 ZYT 解: (1) 103×97 =(100+3)(100-3) =1002-32 =9991 (2)118×122 =(120-2)(120+2) =1202-22 =14396 (1) 103×97; (2)118×122 用平方差公式进行计算： 例1 通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 巩固练习 ZYT 解: (1) 102×98 = 1002-22 =10000 – 4 =（100＋2）(100－2) =9996； 计算: (1) 102×98; (2) 51×49; (2) 原式=（50＋1）(50－1) = 502-12 =2500 – 1 =2499； ZYT 典例精析 计算： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2 (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) 例2 解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2 =a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4 (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) =4x2-52-(4x2-6x) =4x2-25-4x2+6x =6x-25 不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算. ZYT 巩固练习 计算: (1) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 解: (1) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) （2）原式= y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1. = 9x2-16-6x2-5x+6 = 3x2-5x-10. 典例精析 例3 对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？ 即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数． 解：原式＝9n2-1-(9-n2) ＝10n2-10. 因为(10n2-10)÷10=n2-1. n为正整数， 所以n2-1为整数 方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． ZYT 巩固练习 如果两个连续奇数分别是2n-1，2n+1（其中n为正整数），证明两个连续奇数的平方差是8的倍数. 证明：（2n+1）2-(2n-1)2 =[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立. 注意：逆用了平方差公式奥！ 典例精析 ZYT 例3 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16