2021届北京市东城区高三下学期二模数学试题

2021北京东城高三二模 数 学 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.(4分)已知集合,那么 A.,, B.,, C., D., 2.(4分)已知的展开式中的系数为,那么 A. B. C.1 D.2 3.(4分)已知,,,那么 A. B. C. D. 4.(4分)已知,那么的最大值为 A.1 B. C.2 D. 5.(4分)在平行四边形中,已知,,为的中点,那么 A. B. C. D. 6.(4分)已知函数满足,当,时,,那么 A. B. C. D. 7.(4分)某三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积为 A. B. C.22 D. 8.(4分)已知双曲线,那么“双曲线的渐近线为”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(4分)在中,已知,,那么 A. B. C. D. 10.(4分)有三个因素会影响某种产品的产量,分别是温度(单位:、时间(单位:、催化剂用量(单位:,三个因素对产量的影响彼此独立.其中温度有三个水平:80、85、90,时间有三个水平:90、120、150,催化剂用量有三个水平:5、6、7.按全面实验要求,需进行27种组合的实验,在数学上可以证明:通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案.如表给出了这9次实验的结果: 实验号 温度 时间 催化剂用量 产量 1 80 90 5 31 2 80 120 6 54 3 80 150 7 38 4 85 90 6 53 5 85 120 7 49 6 85 150 5 42 7 90 90 7 57 8 90 120 5 62 9 90 150 6 64 根据上表,三因素三水平的最优组合方案为 A. B. C. D. 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。 11.(5分)复数的实部为 . 12.(5分)已知直线不在平面,内,给出下列三个论断: ①;②;③. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: . 13.(5分)已知抛物线过点,那么抛物线的准线方程为 ,设为平面直角坐标系内一点,若线段的垂直平分线过抛物线的焦点,那么线段的长度为 . 14.(5分)角的终边与单位圆的交点位于第一象限,其横坐标为,那么 ,点沿单位圆逆时针运动到点,所经过的弧长为,则点的横坐标为 . 15.(5分)对于定义域为的函数,设关于的方程,对任意的实数总有有限个根,记根的个数为,给出下列命题: ①存在函数满足:,且有最小值; ②设,若,则; ③若,则为单调函数; ④设,则. 其中所有正确命题的序号为 . 三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(13分)如图,四棱锥中,平面,,,,. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值. 17.(13分)已知等比数列满足,. (Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求数列的前项和. 条件①:设; 条件②:设. 18.(14分)某市2019年一季度全市居民人均消费支出情况如表所示,全市居民分为城镇居民和农村居民,人均消费支出分为食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通和通信、教育文化和娱乐、医疗保健、其他用品及服务共8类. 2019年一季度 单位:元 指标名称 全市居民 城镇居民 2019年一季度 增速 2019年一季度 增速 人均消费支出 10637 7.4 11440 7.4 食品烟酒 2292 8.2 2401 8.2 衣着 628 0.0 670 居住 3846 5.7 4200 5.6 生活用品及服务 546 6.8 588 8.3 交通和通信 1219 11.0 1303 10.5 教育文化和娱乐 927 10.5 1020 11.0 医疗保健 874 14.2 920 13.6 其他用品及服务 305 1.0 338 2.7 (Ⅰ)从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类,求这类人均消费支出超过1000元概率; (Ⅱ)从城镇居民的8类人均消费支出中随机选取3类,记表示其中不超过2000元的数,求的分布列及数学期望; (Ⅲ)请直接写出这8类人均消费支出中,农村居民人均消费支出增速大于城镇居民人均费支出增速的类别. 19.(15分)已知函数,其中,. (Ⅰ)若曲线在处的切线过点,求的值; (Ⅱ)若对,恒成立,求的取值范围. 20.(15分)已知椭圆的右焦点为,左、右顶点分别为,,. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过的直线与椭圆交于不同的两点,,过点作轴的垂线,与直线交于点,为线段的中点.证明:直线的斜率为定值. 21.(15分)设数列,,,. 定义集合,,其中为给定的正整数. (Ⅰ)若,2,4,求