7.3.4 正切函数的性质与图像-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第三册)

7.3.4 正切函数的性质与图像 一、正切函数的定义与性质 1、正切函数的定义：对于任意一个角，只要，就有唯一确定的正切值与之对应，因此是一个函数，称之为正切函数。 2、正切函数的性质 （1）定义域与值域：定义域为，值域是R； （2）奇偶性：奇函数； （3）周期性：最小正周期为； （4）单调性：在每一个开区间上都是单调递增的； （5）零点： 二、正切函数的图像 1、图像 2、正切函数的图像叫做正切曲线，正切曲线是由通过点且与轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成；正切曲线是中心对称图形，对称中心是 三、正切型函数的相关性质 1、定义域：由不等式得到； 2、周期：讨论可参照的周期的讨论方法和求法，须特别注意的是的周期是，而的周期是； 如果直线(为常数)与函数的图像的相邻两支的交点为和，那么两相邻交点间的长度就是一个周期，即； 3、的单调区间：只需要令解出即可，但时，应先用诱导公式将系数化为正的，还要注意的正负对单调性的影响。 题型一 正切函数的定义域 【例1】函数的定义域为___________. 【变式1-1】函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的定义域是（ ） A． B． C． D．且 【变式1-3】求下列函数的定义域： （1） ；（2） . 题型二 正切函数的值域 【例2】函数，的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】求函数的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量的集合. 【变式2-3】已知，求的值域． 【变式2-4】当时，的值总不大于零，则实数的取值范围是_____. 【变式2-5】已知在区间上的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 题型三 正切函数的图像 【例3】画出函数，的简图． 【变式3-1】作出函数y＝tanx＋|tanx|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期． 【变式3-2】函数y=|tanx|，y=tanx，y=tan(-x)，y=tan|x|在上的大致图象依次是______(填序号). 【变式3-3】已知函数的部分图象如图所示，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】函数在区间上的零点个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型四 正切函数的单调性 【例4】函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】求函数y＝3tan的单调递减区间． 【变式4-2】若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是_______． 【变式4-3】已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型五 正切函数的奇偶性 【例5】当x∈(－,)时，函数y＝tan |x|的图象（ ） A．关于原点对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．无法确定 【变式5-1】判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）. 【变式5-2】函数，若，则的值为________ 【变式5-3】“”是“函数为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-4】已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型六 正切函数的周期性 【例6】函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则______． 【变式6-2】函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】函数的最小正周期是______． 【变式6-4】若，则等于（ ） A．- B． C．0 D．-2 题型七 正切函数的对称性 【例7】（多选）曲线的对称中心可能是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）关于函数的说法中正确的是（ ） A．定义域是， B．图像关于点