9.3.2 向量坐标表示与运算（课件）-高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

苏教版（2019） 必修第二册 9.3.2 向量坐标表示与运算 第9章 平面向量 学习目标 1.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 2.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 2023/8/8 2 情境导入 如图，在平面直角坐标系内，任意一点P与有序实数对（x，y）是一一对应的关系。 点P唯一对应着以原点O为起点，P为终点的向量。 思考：平面向量也能用一对有序实数来表示吗？ 2023/8/8 3 探究新知 核心知识点一： 向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量， 作为基底，对于平面内的向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数（x，y），使得=x ＋y 。 O x y 我们把有序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作(x,y)。 x ，y 分别为向量在向量， 上的投影向量. 2023/8/8 4 探究新知 如图，作 = ，即有 = x ＋y ，则的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）就是向量的坐标。 O x y 2023/8/8 5 探究新知 核心知识点二： 向量线性运算的坐标表示 当向量用坐标表示时，向量的和、差以及向量数乘也都可以用相应的坐标来表示。 设，，那么 =。 同理，。 同理，。 2023/8/8 6 探究新知 核心知识点二： 向量线性运算的坐标表示 已知向量 和实数，那么 2023/8/8 7 探究新知 如图，若A（，），B（ ），则 =（,）-（） =（） 总结：一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。 2023/8/8 8 重点探究 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P是直线P1P2上一点，且（λ≠-1），求点P的坐标。 一 设，则 由，得 （）= 因为，所以 2023/8/8 9 探究新知 因此，点P的坐标为 这个公式叫作线段定比分点的坐标公式。 当λ=1时，就得到线段P1P2的中点M（x，y）的坐标公式 2023/8/8 10 探究新知 核心知识点三： 向量数量积的坐标表示 思考：若两个向量为=（x1，y1）， =（x2，y2），如何用， 的坐标来表示它们的数量积· ？ 设， 分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，则 · =1, · =1, · = · =0. 因为=x1+x1, =x2+y2, 所以· =(x1+x1)·(x2 +y2)=x1·(x2+y2)+x1·(x2 +y2)=x1x2 ²+ x1y2 · +x2y1 · +y1y2 ²=x1x2+y1y2。 2023/8/8 11 探究新知 由此可知，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即: · =x1x2+y1y2 特别地，设=（x，y），则²=x²＋y²，即 应用向量的方法，我们可以推导出两点距离公式：设 则 2023/8/8 12 探究新知 设两个非零向量=（x1，y1）， =（x2，y2），它们的夹角为，由向量数量积的定义，可得 特别地： 若，则； 若，则。 2023/8/8 13 重点探究 已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于 。 【解析】设C(x，y)，则＝－＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 即x＝－4，y＝－2， 故C(－4，－2)，则＝－＝(－7，－4)。 2023/8/8 14 重点探究 已知向量＝(2,1)，求： (1)2 ＋3 ；(2) －3 。 【解析】 (1)2＋3 ＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2) －3 ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). 2023/8/8 15 重点探究 已知点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).若与向量＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【解析】点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)， 所以向量＝2(1－(－1)，－1－2)＝(4，－6)， 又因为与向量＝(λ，1)共线，所以4×1＋6λ＝0， 解得λ＝－。 2023/8/8 16 重点探究 已知平面向量), ＝(－2,1)，求－2及其模的大小. 【解析】∵ ＝(3,5)， ＝(－2,1)， ∴ －2 ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴| －2 |＝＝。 2023/8/8 17 重点探究 已知向量＝(m,1).若向量＋ 与垂直，则m＝________. 【解析】∵ ＝(－1,2)， ＝(m,1)， ∴ ＋ ＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3). 又＋ 与垂直，∴(＋ )· ＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m＝7. 2023/8/8 18