2023年九年级中考数学高频考点突破--三角形的内切圆

2023年中考数学高频考点突破--三角形的内切圆 一、综合题 1．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F. （1）比较EF与AE+BF的大小关系； （2）若AE=5，BF=3，求EF的长. 2．如图，点M是 的内心，BM的延长线和 的外接圆相交于D，连接DC、DA、MA、MC，四边形MADC是平行四边形． （1）求证：MA＝MC． （2）若 ，则请直接写出弧 的长为　 　．（结果保留 ） 3．在△ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是△BDC的内心，E、F分别为⊙O与边BD、DC的切点，设BD=BC． （1）求证：①AE⊥EF，②AE∥DO； （2）若AC=6，⊙O的半径为1，求AE的长． 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，I是△ADC的内心，∠ADB=45°． （1）求⊙O半径的长； （2）求证：BC＝BI． 5．如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O． （1）求证：⊙O与CB相切于点E； （2）如图2，若⊙O 过点H，且AC=5，AB=6，连结EH，求△BHE的面积． 6．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若 = ，如图1，． （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF=2FC=4，求AM的长． 7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设， ，为三角形三边， 为面积，则 ① 这是中国古代数学的瑰宝之一． 而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 （周长的一半），则 ② （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②① ； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图， 的内切圆半径为，三角形三边长为， ，仍记 ， 为三角形面积，则 ． 8． 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE （1）求证：DB＝DE （2）求证：直线CF为⊙O的切线 （3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积 9．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F． （1）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）； （2）如图②，如果∠ACB不是直角，其他条件不变，那么在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 10．如图，点 是 的内心， 的延长线与 的外接圆 交于点 ，与 交于点 ，延长 、 相交于点 ， 的平分线交 于点 . （1）求证： ； （2）求证： ； （3）若 ， ，求 的长. 11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D． （1）若∠BAC=70°，求∠CBD的度数； （2）求证：DE=DB． 12．如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆 相交于点 ，过 作直线 . （1）求证： 是 的切线； （2）求证： ； （3）若 ， ，求 的半径. 13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，连接DB、DC． （1）求证：DB=DC=DI； （2）若⊙O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积． 14．如图，ΔABC是直角三角形，∠C=90°. （1）请作出ΔABC的内切圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）. （2）设（1）中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB=　 　°；②BD=　 　. 15．如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点． （1）求证：四边形ODCE是正方形； （2）如果，，求内切圆的半径． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该