2023年九年级中考数学高频考点突破——旋转

2023年中考数学高频考点突破——旋转 1.如图1,在▱ABCD中,AH⊥DC,垂足为H,AB=4,AD=7,AH=.现有两个动点E,F同时从点A出发,分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动,在点E,F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG与△ABC在射线AC的同侧,当点E运动到点C时,E,F两点同时停止运动,设运动时间为t秒. (1)求线段AC的长; (2)在整个运动过程中,设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围; (3)当等边△EFG的顶点E到达点C时,如图2,将△EFG绕着点C旋转一个角度α(0°<α<360°),在旋转过程中,点E与点C重合,F的对应点为F′,G的对应点为G′,设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M,N两点.试问:是否存在点M,N,使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形?若存在,请求出CM的长度;若不存在,请说明理由. 2.如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N. (1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点; (2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△ACN为等腰直角三角形; (3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,(2)中的结论是否仍成立?若成立,试证明之,若不成立,请说明理由. 3.已知两条平行线l1、l2之间的距离为6,截线CD分别交l1、l2于C、D两点,一直角的顶点P在线段CD上运动(点P不与点C、D重合),直角的两边分别交l1、l2于A、B两点. (1)操作发现 如图1,过点P作直线l3∥l1,作PE⊥l1,点E是垂足,过点B作BF⊥l3,点F是垂足.此时,小明认为△PEA∽△PFB,你同意吗?为什么? (2)猜想论证 将直角∠APB从图1的位置开始,绕点P顺时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:当AE满足什么条件时,以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形?在图2中画出图形,证明你的猜想. (3)延伸探究 在(2)的条件下,当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时,设CP=x,试探究:是否存在实数x,使△PAB的边AB的长为4?请说明理由. 4.已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF. (1)求AE和BE的长; (2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值. (3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由. 5.在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE′D′F′,记旋转角为α. (Ⅰ)如图①,当α=90°时,求AE′,BF′的长; (Ⅱ)如图②,当α=135°时,求证AE′=BF′,且AE′⊥BF′; (Ⅲ)若直线AE′与直线BF′相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可). 6.四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF. (1)求证:△ADE≌△ABF; (2)填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点,按顺时针方向旋转 度得到; (3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积. 7.如图1所示,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起,构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′,旋转角为a. (1)当点D′恰好落在EF边上时,求旋转角a的值; (2)如图2,G为BC中点,且0°<a<90°,求证:GD′=E′D; (3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,△DCD′与△CBD′能否全等?若能,直接写出旋转角a的值;若不能说明理由. 8.如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B,P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N,连接PM,PN. (1)延长MP交CN于点E(如图2). ①求证:△BPM≌△CPE; ②求证:PM=PN; (2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B,P在直线a的同侧,其它