2023年九年级中考数学复习相似专题

中考数学复习相似三角形综合题 1.如图,正方形的边长为2,以为直径作半圆,点是中点,与半圆交于点,连结,给出如下结论:①;②;③;④,下列结论正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图,在中,,,,是线段上的两个动点,且,过点,分别作,的垂线相交于点,垂足分别为,.有以下结论:①;②当点与点重合时,;③;④.其中正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,在正方形中,,分别为,的中点,点在边上,交于点,连接、,.下列结论:①;②;③;④.其中正确的结论有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.如图,正方形的对角线,相交于点,点是上一点,交于点,连接,交于点,连接.则下列结论:①;②;③四边形的面积是正方形面积的;④;⑤若,则.其中正确的结论有 个. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.如图(1),点为正方形内一动点,连接,,且,以为边向右侧作等腰直角三角形,,连接,. (1)求的度数; (2)如图(2),连接,若. ①求证:; ②求的值. 6.在正方形中,点是边上的动点(与点、不重合),以为直角边在直线上方作等腰直角三角形,. (1)如图1,若与交于点,连接. ①求证:;②求的值; ③若正方形的边长为1,在点运动过程中,则以、、为顶点的三角形周长的最小值为 ; (2)如图2,若与交于点,连接分别与、交于点、,连接.求证:. 7.综合与探究. 问题情境:如图,在矩形中,点为边上的动点,点为边上的动点,点为边上的动点,连接,过点作于点,交边于点.探究线段与的比值是否发生变化. 特例探究:(1)如图2,当点与点重合,点与点重合,发现.请证明; 探究发现:(2)如图1,探究成立吗?若成立,请证明;若不成立,请写出你的发现,并说明理由; 探究拓展:(3)如图3,把“矩形”改为“四边形,,,,点与点重合,点与点重合”,其余条件不变,猜想的值,并证明. 8.四边形中,两条对角线,相交于点,如图1,且. (1)若,,则的值为 ; (2)若,求证:; (3)在(2)的条件下,若平分,如图2,求证:. 9.【证明体验】(1)如图1,正方形中,,分别是边和对角线上的点,.求证:. 【思考探究】(2)如图2,矩形中,,,,分别是边和对角线上的点,,,求的长. 【拓展延伸】(3)如图3,菱形中,,对角线,交的延长线于点,,分别是线段和上的点,,,求的长.(请直接写出答案) 10.如图,菱形和等腰中,,,点在边上,交于点. (1)求证:; (2)连接,,,求的值; (3)延长交于点,角,,直接写出的值. 参考答案 1.解:①连接,,如图1. 点是中点,正方形, ,, 四边形是平行四边形, , ,, , , ,,, , 则有. 故①正确;②连接,如图2. 则有,. ,,, . 故②正确;③过点作于,如图3. , ,. 故③错误;④过点作于,如图4. , , 则有, 解得:. 由,得. 故④正确. 综上所述:正确结论是①②④. 故答案为:. 2.解:①由题意知,是等腰直角三角形, 则,故①正确; ②如图1,当点与点重合时,点与点重合, ,, , , ,四边形是矩形, , ,, , 是的中位线, ,故②正确; ④如图2所示, ,, . 将顺时针旋转至, 则,,;; , , . 在和中, , , . , , ,即,故④错误; ③, , , 故③正确. 故选:. 3.解:如图,设与的交点为, 设, 四边形是正方形, ,, ,分别为,的中点, , , ,,, , , 又,, , ,,, ,,, ,故①正确; , , , , , , , , , , , 又, ,故②正确; , ,故③正确; ,, , , , ,, , , , , , , ,故④错误, 故选:. 4.解:①, 四边形是正方形, ,,,,, , , , , , , , , , , , 故①正确; ②,由得, , 由得, , , , , 故②正确; ③,由①知:, 四边形的面积等于的面积加的面积, 四边形的面积等于的面积加的面积, 四边形的面积等于的面积, 而的面积等于正方形的面积的, 四边形的面积是正方形面积的; 故③正确; ④,如图, 作,交于, , , ,, , , , , , , , 故④正确; ⑤,如图2, 作于, , , , , 设,则,, , , , , , 点、、、共圆, , , 故⑤不正确, ①②③④正确, 故选:. 5.(1)解:在正方形中,,, 又是等腰直角三角形, ,,, , , , , ; (2)①证法1:如图2中,将边沿着点顺时针旋转得到边,连接,,则. ,, ,, 又, , , 又,, , , 即, ,, ; 证法2:如图3中,连接. , , , 又, , , , , ,, ; ②解法1:如图2中,, ,即, , , 即;