7.4.2超几何分布学案2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

超几何分布 学案 【学习目标】 1.理解超几何分布,能够判定随机变量是否服从超几何分布; 2.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的均值. 【学习重难点】 重点：超几何分布的概念及应用 难点：超几何分布与二项分布的区别与联系 【学习过程】 探究一 超几何分布的概念 已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. （1）：采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？ （2）：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？ 归纳总结： 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k）＝ ，k＝ 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}， 如果随机变量X的分布列具有上式形式 那么称随机变量X服从 ． 概念辨析 下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 探究二 超几何分布的概率及分布列 例1 从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率. 例2 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 跟踪训练1 在某种心理学试验中，将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列及均值． 归纳总结： 超几何分布的均值：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则E(X）＝__ ． 探究三 超几何分布与二项分布间的联系 例3 一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1) 分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列; (2) 分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例， 求误差不超过0.1的概率. 归纳总结：二项分布与超几何分布区别和联系 1.区别：一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样. 2.联系：当次品的数量充分大,且抽取的数量较小时,即便是不放回抽样,也可视其为二项分布. 跟踪训练2 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1）不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值； (2）放回抽样时，抽取次品数η的均值． 【知能提升】 1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　） 3．(多选题)已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，则这10件产品的次品数可能为(　　) A．8　　B．6　　 C．4　　D．2 4.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，这2罐中有奖券的概率为 . 5.一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，则中奖的概率为 ． 6.已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________． 7．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________． 8. 袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．