专题19【大题限时练十九】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

专题19 大题限时练十九 1．已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 2．在四边形中，，，其中． （1）若，求； （2）若，求． 3．如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，，现以，为折痕将正方形折起，且，重合，记，重合后为，记，重合后为． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 4．致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在，内，为成绩优秀． 成绩 ， ， ， ， ， ， ， 人数 5 10 15 25 20 20 5 （1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； 优秀 非优秀 合计 男 10 女 35 合计 （2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在，内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望． 参考公式：，． 附表： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 5．已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点． （1）求曲线，的方程； （2）点是椭圆的点，且过点可以作抛物线的两条切线，切点为，，求三角形面积的最大值． 6．函数． （1）求函数在上的极值； （2）证明：有两个零点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 大题限时练十九 1．已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，， 即，化简得． 所以数列的通项公式． （2）令， 则， ， ． ． 2．在四边形中，，，其中． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：如图，， ， ，， ， 过作，垂足点为，由，为中点， 过作，垂足点为， （1）若，则，又， ， ，又，， 又，，， ； （2）设，则，，又， 设，设， 在与中由余弦定理可得： ， ，解得， ，又， ， ． 3．如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，，现以，为折痕将正方形折起，且，重合，记，重合后为，记，重合后为． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：取中点，连接， 则，． 再取中点，连接，，易得，， 于是，四边形为平行四边形，得， 从而，， 那么平面， 又平面， 故平面平面． （2）解：以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系， 则，，0，，，2，，，，2，， 设平面的法向量，，， 由，得， 取，得， 所以平面的法向量． 同理可得：平面的法向量， 则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为． 4．致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在，内，为成绩优秀． 成绩 ， ， ， ， ， ， ， 人数 5 10 15 25 20 20 5 （1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； 优秀 非优秀 合计 男 10 女 35 合计 （2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在，内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望． 参考公式：，． 附表： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】见解析 【解析】解：（1）补全列联表如表所示． 优秀 非优秀 合计 男 10 40 50 女 15 35 50 合计 25 75 100 （2分） 因为， 因此没有的把握认