解答题特训(二) 数列（专题微练PPT）-【赢在微点·考前顶层设计】2023老高考数学理科大二轮专题复习

解答题特训(二) 数列 第1页 赢在微点 无微不至 考前顶层设计 数学（理） 第1页 赢在微点 无微不至 考前顶层设计 数学（理） 第1页 赢在微点 无微不至 考前顶层设计 数学（理） 第1页 赢在微点 无微不至 考前顶层设计 数学（理） 第1页 赢在微点 无微不至 考前顶层设计 数学（理） 第1页 赢在微点 无微不至 考前顶层设计 数学（理） 第1页 赢在微点 无微不至 考前顶层设计 数学（理） 第1页 赢在微点 无微不至 考前顶层设计 数学（理） 第1页 赢在微点 无微不至 考前顶层设计 数学（理） 第1页 赢在微点 无微不至 考前顶层设计 数学（理） 1.已知数列{an}中,a1=1,且满足________。  (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an+2n-1}的前n项和Sn。 从①an+1=2an(n∈N*);②an+1-an=2(n∈N*);③an+1+an=2(n∈N*)这三个条件中选择一个,补充在上面的问题中并作答。 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 解　选条件①。 (1)由an+1=2an(n∈N*),得=2,因为a1=1,所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=1×2n-1=2n-1。 (2)由(1)得an+2n-1=2n-1+2n-1=2n,则Sn=21+22+23+…+2n==2(2n-1)=2n+1-2。 选条件②。 (1)因为an+1-an=2(n∈N*),a1=1,所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=1+2(n-1)=2n-1。 (2)由(1)得an+2n-1=2n-1+2n-1,则Sn=(1+20)+(3+21)+(5+22)+…+[(2n-1)+2n-1]=[1+3+5+…+(2n-1)]+(20+21+22+…+2n-1)=+=n2+2n-1。 选条件③。 (1)因为an+1+an=2(n∈N*),a1=1,所以an=1。 (2)由(1)得an+2n-1=1+2n-1,则Sn=(1+20)+(1+21)+…+(1+2n-1)=n+(20+21+…+2n-1)=n+=n+2n-1。 2.(2022·石家庄市质量检测)已知等差数列{an}的各项均为正数,公差d<3,若分别从表中第一、二、三行中各取一个数,依次作为a3,a4,a5,且a3,a4,a5中任何两个数都不在同一列。 第一列 第二列 第三列 第一行 3 5 6 第二行 7 4 8 第三行 11 12 9 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<。 解　(1)由题意可知,数列{an}为递增数列,又公差d<3,所以a3=5,a4=7,a5=9,所以an=2n-1。 (2)证明:bn===-,所以Tn=1-+-+-+-+…+-+-=1+--=--,所以Tn<。 3.(2022·八省八校联考)设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn+1=3an(n∈N*)。 (1)求Sn; (2)证明:当n≥2时,2Sn+≥9。 解　(1)当n=1时,2S1+1=2a1+1=3a1,解得a1=S1=1。当n≥2时,2Sn+1=3an= 3(Sn-Sn-1), Sn=3Sn-1+1。即Sn+=3Sn-1+,S1+=≠0,所以Sn+是以为首项,3为公比的等比数列,Sn+=×3n-1=,Sn=。 (2)证明:由Sn=,得an==3n-1,则2Sn+=3n-1+。令t=3n,n≥2,则t≥9。因为 f (t)=t-1+在[9,+∞)上单调递增,所以f (t)≥f (9)=9,即3n-1+≥9,当且仅当n=2时取等号,原命题得证。 4.(2022·烟台诊断性测试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=9,S3=15。 (1)求{an}的通项公式; (2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T100的值。 解　(1)设{an}的公差为d,由已知,得a1+3d=9,3a1+3d=15,解得a1=3,d=2。所以an=2n+1。 (2)因为ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k个1,所以ak在{bn}中对应的项数为n=k+21+22+23 +…+2k-1=k+=2k+k-2,当k=6时,2k+k-2=68,当k=7时,2k+k-2=133,所以a6=b68,a7=b133,且b69=b70=…=b100=1。因此T100=S6+(2×1+22×1+23×1 +24×1 +25×1)+32×1=×(3+13)