8.6.1直线与直线垂直（精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

8.6.1 直线与直线垂直 (精讲） 目录 一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究 题型1:求异面直线所成的角 题型2:判断直线垂直关系 题型3：证明异面直线垂直 三、高考（模拟）题体验 一、必备知识分层透析 知识点1：异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 知识点2：异面直线所成角的范围 由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即. 注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是. 知识点3：两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直， 记作. 注意：两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直. 知识点4：异面直线所成的角的求解步骤 ①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角. ②证明：证明作出的角就是要求的角 ③计算：求角度（常利用三角形的有关知识） ④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就 是所求异面直线所成的角. 二、重点题型分类研究 题型1:求异面直线所成的角 典型例题 例题1．（2022·高一课时练习）如图所示，正方体中，，分别为平面与的中心，则与所成角的度数是_____________． 例题2．（2022春·四川雅安·高一统考期末）已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______． 例题4．（2022·高一课时练习）已知正四棱锥，，，是侧棱的中点，且，则异面直线与所成角为________． 例题5．（2022·高一课时练习）如图，在三棱柱中，，．若，，则异面直线与所成的角为____． 同类题型演练 1．（2022·高一课前预习）在正方体中，则直线与直线所成角大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·上海普陀·高二校考期中）如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示) 3．（2022·高一课前预习）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，则与所成的角是________． 4．（2022秋·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期末）如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________． 5．（2022·高一课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝，求异面直线AD，BC所成角的大小. 题型2:判断直线垂直关系 典型例题 例题1．（2022·高一课时练习）在正方体中，与垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2022秋·河北保定·高三校考阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，，，，满足，，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．与既不垂直也不平行 D．与的位置关系不确定 例题3．（2022·高一课时练习）如图，，平面，在，的边所在的直线中： （1）与垂直的直线有________； （2）与垂直的直线有________． 同类题型演练 1．（2022·高一课时练习）已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有_______条． 2．（2022·全国·高二期中）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______． 3．（2022·全国·高一专题练习）若空间三条直线a，b，c满足，，则直线a与c( ) A．一定平行    B．一定垂直     C．一定是异面直线    D．一定相交 题型3：证明异面直线垂直 典型例题 例题1．（2022·广东·高三统考学业考试）如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 例题3．（2022·高一课时练习）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点棱上运动．证明：. 同类题型演练 1．（2022·高一课时练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（    ） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 2．（2022秋·四川遂宁·高二遂宁中