8.4.1平面（精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

8.4.1 平面 (精讲） 目录 一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究 题型1: 文字语言、符号语言、图形语言的相互转化 题型2：平面性质基本事实及推论的应用 题型3：点线确定平面数量问题 题型4：空间中点线共面问题 题型5：空间中点共线问题 题型6：空间中线共点问题 题型7：由平面的基本性质作截面图形 一、必备知识分层透析 知识点1：平面的概念与画法 （1）平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的. 平面是绝对平的；平面是无限延展的，不可度量；平面没有厚度. （2）平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2). （3）平面的表示 平面通常用希腊字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面、平面等. 知识点2：点、直线、平面之间的位置关系（是点，、是直线，、是平面） 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 直线在平面内 直线在平面外 平面,相交于 知识点3：平面的基本性质 （1）基本事实1 ①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②图形语言： ③应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面. ④说明：对于基本事实1中的“有且只有一个”，这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,本公理强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”.否则就没有表达存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个方面的,这个术语今后学习中会经常出现. （2）基本事实2 ①如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； ②符号语言和图形语言 符号语言：，，且， ③应用：判断直线或点是否在平面内的依据. ④说明： 基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的 “无限延展”. 如图,由基本事实胜于雄辩,给定不共线的三点,它们可以确定一个平面;连 接,,,由基本事实2.这三条直线都在平面内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内,所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面.组成“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”. （3）基本事实3 ①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②符号语言和图形语言 ，且 ③应用：判断两平面是否相交及确定交线的依据；证明三点共线；证明三线共点；作两平面的交线. ④说明：基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”. 知识点4：基本事实1和基本事实2的三个推论 （1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 （2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面 二、重点题型分类研究 题型1: 文字语言、符号语言、图形语言的相互转化 典型例题 例题1．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）如果点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例题2．（2022·高一课时练习）若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 例题3．（2022春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考期中）如果点在直线上，而直线在平面内，点在平面内，则可以表示为（    ） A．，, B．，， C．，， D．，， 例题4．（2022·高一课时练习）根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 例题5．（2022·高二课时练习）用符号语言改写下列语句： (1)点在平面内，点不在直线上； (2)直线在平面内，直线与平面有且只有一个公共点； (3)直线和相交于一点． 同类题型演练 1．（2022春·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习）点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（    ） A．， B．，