上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高二上期中 数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.一个正四棱柱的底面边长为，高为，则该正四棱柱的体积为 . 2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是 . 3.已知四面体中，分别为的中点，且异面直线与所成的角为，则 . 4.正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为 . 5.已知异面直线所成角为，过空间定点与成角的直线共有 . 6.圆锥轴截面的顶角为，母线长为，则过任意两条母线的截面面积的取值范围为 . 7.在空间中，已知一个正方体的条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于，则 . 8.下列命题中正确的命题为 . ①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线； ②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面； ③若直线异面，异面，则异面； ④若，则； 9.是半径为的球表面上三个点，的外接圆面积为，则球心到平面的距离为 . 10.设正四面体的棱长，是棱上的任意一点，且到面的距离分别为，则 . 11.在长方体中，棱，点是线段上的一动点，则的最小值是 . 12.如图，长方体中，，分别为中点，点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是 . 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题） 13.如图，实线图形绕虚线旋转一周形成的几何体是（ ） 14.已知直二面角，直线在平面上，直线在平面上，且与不垂直，与不垂直，那么（ ） A. 与可能垂直，但不可能平行 B. 与可能垂直，也可能平行 C. 与不可能垂直，但可能平行 D. 与不可能垂直，也不可能平行 15.三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 16.两个平面和三条直线，若，设和所成的一个二面角的大小为，直线和平面所成的角的大小为，直线所成的角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题） 17.如图，已知平面，且.若梯形中，，且.求证：共点（相交于一点）. 18.（1）请用文字语言叙述两个平面平行的判定定理； （2）将（1）中的定理改写成“已知求证”的形式，并用反证法证明. 19.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆底面圆周上的点。 （1）求证：平面； （2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小.（结果用反三角函数值表示） 20.如图所示，四边形为菱形，，二面角的大小为，点是棱的中点. （1）求证：； （2）若，当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角. 21.如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由； （3）求异面直线与之间的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高二上期中 数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.一个正四棱柱的底面边长为，高为，则该正四棱柱的体积为 . 【解析】该正四棱柱的体积为. 2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是 . 【解析】圆锥的轴截面是等边三角形，设等边三角形的边长为， 则等边三角形的面积，得，所以圆锥底面圆的半径， 母线，所以圆锥表面积. 3.已知四面体中，分别为的中点，且异面直线与所成的角为，则 . 【解析】取的中点，连接，分别是中点， 所以， 又异面直线与所成的角为，所以所成角为， 所以，又得， 所以，所以. 4.正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为 . 【解析】如图，与底面所成的角为，所以， 又，所以，所以. 5.已知异面直线所成角为，过空间定点与成角的直线共有 . 【解析】将直线平移到过点，作图，轴作为直线的角平分线， 所以，所以， 当满足条件的直线与共面时，此时满足条件，所以满足的有条； 当满足条件的直线与在平面中时，此时， 所以满足的有条， 综上，一共条. 6.圆锥轴截面的顶角为，母线长为，则过任意两条母线的截面面积的取值范围为 . 【解析】圆锥的