专题08 实数中蕴含的数学思想和实数的大小比较-2022-2023学年七年级数学下册专题提优及章节测试卷（人教版）

专题8 实数中蕴含的数学思想和实数的大小比较（原卷版） 类型一 特殊到一般的思想 第一部分 专题典例剖析+针对训练 典例1 （2022春•临邑县期末）阅读与思考 请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：10，2×5＝10．所以． 小明：（）2＝4×25＝100．（）2＝（2×5）2＝100． 这就说明和都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以． 任务： （1）猜想：当a≥0，b≥0时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明： （2）运用以上结论．计算：①；②； （3）解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 典例2 请你观察下列计算过程：因为112=121，所以=11；用样，因为1112=12321，所以=111；…；由此猜想=________． 变式训练 1．（2022春•南京校级月考）观察等式：，… （1）你能猜想有什么规律呢？请用含n的式子表示（n≥3的整数）　 　； （2）按上述规律，若，则a+b＝　 　； （3）仿照上面内容，另编一个等式，验证你在（1）中得到的规律． 2．（2022春•福清市期中）先阅读下面材料，再解答问题： 材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若a+b0，其中a，b为有理数，是无理数，则a＝0，b＝0． 证明：∵a+b0，a为有理数 ∴b是有理数 ∵b为有理数，是无理数 ∴b＝0 ∴a+00 ∴a＝0 （1）若a+b3，其中a、b为有理数，请猜想a＝　 　，b＝　 　，并根据以上材料证明你的猜想； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足11y（yx）＝（b+2）a，求x，y的值． 3．（2022春•兴宁区校级期中）阅读与思考 请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：10， 2×5＝10，所以． 小明：4×25＝100， 100． 这就说明和都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以． 任务： （1）猜想：当a≥0，b≥0时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明； （2）运用以上结论，计算：①；②； （3）解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 4．（2019春•阜阳期中）观察下列各等式及验证过程． ，验证； ，验证：； ，验证：． （1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明． 5．（2022秋•苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数； ②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　 　； （2）若，则x＝　 　； 已知，且与互为相反数，求x，y的值． 类型二 数形结合思想 典例3（2022秋•九龙坡区期末）如图实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|c﹣b|　 　． 变式训练 1．（2022秋•新华区校级期末）如图，数轴上点P表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2022秋•南关区校级期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．|a|＜|b| B．a+b＜0 C．a﹣b＞0 D．ab＞0 3．（2022秋•九龙坡区校级期末）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为﹣2和﹣1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 类