上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷

上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高二上期末 数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.从中随机选一个数，从中随机选取一个数，则的概率是　　． 2.正方体中，、分别为、的中点，则与面所成的角是　　． 3.已知三棱锥，、分别是对边、的中点，点在上，且，设，，，则　　（用表示） 4.如图，在正方体中，是的中点，是底面的中心，是上的任意点，则直线与所成的角为　　． 5.已知一组数据的平均数为4，则这组数的方差是　　． 6.已知数列中，，则　　． 7.对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点：②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有　　． 8.某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米至少要经过　　分钟． 9.棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，、分别是棱、的中点，则直线被球截得的线段长为　　． 10.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为　　． 11.设数列的前项之积为，且对任意正整数成立，则数列的前项和　　． 12.已知数列满足（为正整数），若不等式 恒成立，则实数的取值范围是　　． 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题） 13.已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列说法： ①若垂直于内两条相交直线，则； ②若且，则； ③若，则； ④若且，则． 其中正确的序号是　　 A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②④ 14.已知正数数列为等比数列，公比为，又为任意正整数，且数列严格递减，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 15.在无穷等比数列中，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 16.如图，已知正方体的棱长为为正方体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积为，则点的轨迹长度为　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题） 17.如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角． 18.在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析． （1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）； （2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分； 19.2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇、蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元． （1）判断是否为等比数列； （2）若企业每年年底上缴资金，第年年底企业的剩余资金超过21000万元，求的最小值． 20.为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法． 构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有． （1）类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，，，求此四面体的体积： （2）对棱分别相等的四面体中，，，．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形； （3）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？ 参考公式：三元均值不等式及变形 ，当且仅当时取得等号 21.设数列的前项和为，已知， （1）求证：数列为等比数列； （2）若数列满足：，，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高二上期末 数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.从中随机选一个数，从中随机选取一个数，则的概率是　　． 【解析】从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为， 共有种方法， 若，则时，或2，时，，共有3种， 则的概率是． 2.正方体中，、