上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试卷

上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高二上12月月考数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.已知为等差数列，若，则　　． 2.直线和平面所成角为，则直线和平面内任意直线所成角的取值范围是　　． 3.已知等差数列1，，，，，则它的项数是　　． 4.若四点共面，则实数的值为　　． 5.在空间直角坐标系中，，则的最小值是　　． 6.已知等差数列中，，那么　　． 7.如图已知是所在平面外一点，，、分别是、的中点，若异面直线与所成角的大小为，则与所成角的大小为　　． 8.如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为　　． 9.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑biēnào是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折△，使得四面体为一个鳖臑，则四面体的体积为　　． 10.已知两个不同平面和三条不重合的直线，则下列命题中正确的是　　．（请写上正确命题的序号） （1）若，，则 （2）若在平面内，且，，则 （3）若分别经过两异面直线，且，则必与或相交 （4）若是两两互相异面的直线，则只存在无数条直线与都相交 11.如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点、分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为　　． 12.如图，在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是　　． ①线段的最大值是；②；③与一定异面； ④三棱锥的体积为定值． 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题） 13.已知向量、、是空间不共面的三个向量，则下列可以表示空间任何向量的一组向量是　　 A． B． C． D． 14.现有两个所有棱长都是2的正四棱锥，让它们的底面完全重合，拼成一个新的多面体，则下列结论错误的是　　 A．这个多面体有8个面和12条棱 B．这个多面体有6对棱互相平行 C．这个多面体有4对面互相垂直 D．这个多面体所有的顶点在一个半径为的球面上 15.已知、为异面直线，则下列命题正确的是　　 A．过直线、外一点一定可以作一条与、都平行的直线 B．过直线、外一点一定可以作一个与、都平行的平面 C．过直线一定可以作一个与直线平行的平面 D．过直线一定可以作一个与直线垂直的平面 16.已知正方体，点、、分别是线段、和上的动点，观察直线与，与给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得． 其中正确的结论是　　 A．① B．②③ C．①④ D．②④ 三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题） 17.已知空间三点． （1）求以、为一组邻边的平行四边形的面积； （2）若向量与向量、均垂直，且，求向量的坐标， 18.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是，圆柱筒长． （1）这种“浮球”的体积是多少（结果精确到？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？ 19.如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，球在圆柱内，且与圆柱的上、下底面均相切． （1）求球的表面积； （2）若为圆柱下底面圆弧的中点，求平面截球所得截面的周长． 20.设为等差数列，为数列的前项和，已知，，为数列的前项和． （1）求； （2）求及的最小值． 21.如图，在三棱柱中，平面，、、、分别为、、、的中点，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市嘉定区第一中学2021-2022学年高二上12月月考数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.已知为等差数列，若，则　　． 【解析】设公差为，则，所以. 2.直线和平面所成角为，则直线和平面内任意直线所成角的取值范围是　　． 【解析】根据最小角定理：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线成角中最小的角， 则与所成角最小的角为，当时，所成的角是所成角中最大的角， 则直线和平面内任意直线所成角的取值范围是． 3.已知等差数列1，，，，，则它的项数是　　． 【解析】设等差数列的公差为，由题意得，，所以， 所以， 令，得，解得，即它的项数是46． 4.若四点共面，则实数的值为　　． 【解析】点， 则， 因为四点共面，所以， 则，故，解得． 5.在空间直角坐标系中，，则的最小值是　　． 【解析】． 当时，线段长度的最小值． 6.已知等差数列中，，那么　　． 【解析】在等差数列中，由，得， 所以，即，所以， 则． 7.如图已知是所在平面外一点，，、分别是、的中点，若异面直线与所成角的大小为，则与所成角的大小为　　． 【解析】取中点