2023年中考数学高频考点突破--二次函数的最值

2023年中考数学高频考点突破-二次函数的最值 一、综合题 1.如图,已知抛物线 与 轴交于点 和点 ,交 轴于点 .过点 作 轴,交抛物线于点 . (1)求抛物线的解析式; (2)若直线 与线段 、 分别交于 、 两点,过 点作 轴于点 ,过点 作 轴于点 ,求矩形 的最大面积; (3)若直线 将四边形 分成左、右两个部分,面积分别为 、 ,且 ,求 的值. 2.如图(1)放置两个全等的含有30°角的直角三角板 与 ,若将三角板 向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止),移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上,如图(2), 与 、 分别交于点P、M, 与 交于点Q,其中 ,设三角板 移动时间为x秒. (1)在移动过程中,试用含x的代数式表示 的面积; (2)计算x等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值?最大值是多少? 3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,且OC=OB. (1)求此抛物线的解析式; (2)若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求出此时点E的坐标; (3)点P在抛物线的对称轴上,若线段PA绕点P逆时针旋转90°后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上,求点P的坐标. (4)连接AC,H是抛物线上一动点,过点H作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点F,使得以A,C,H,F为顶点所组成的四边形是平行四边形?若存在,求出满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由. 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0). (1)当b=2,c=﹣3时,求二次函数的解析式及二次函数最小值; (2)二次函数的图象经过点B(m,e),C(3﹣m,e)且对任意实数x,函数值y都不小于 ﹣ . ①求此时二次函数的解析式; ②若次函数与y轴交于点D,在对称轴上存在一点P,使得PA+PD有最小值,求点P坐标及PA+PD的最小值. 5.已知二次函数y=x2﹣2(m+1)x+m(m+2) (1)求证:无论m为任何实数,该函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值. (2)若该函数图象的对称轴为直线x=2,试求二次函数的最小值. 6.如果一个直角三角形的三边长分别为 ,a, , ,则称这个三角形为均匀直角三角形. (1)判定按照上述定义,下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是( ) A.1,2,3; , ,2; , ,3; ,4,5. (2)性质求证:任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3:4. (3)应用如图,在一块均匀直角三角形纸板ABC中剪一个矩形,且矩形的一边在AB上,其余两个顶点分别在BC,AC上,已知 , , ,求剪出矩形面积的最大值. 7.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k与直线y=kx+1交于A、B两点,点A在点B的左侧. (1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标; (2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标; (3)如图2,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧),是否存在实数k使得直线y=kx+1与以O、C为直径的圆相切?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由. 8.已知二次函数y=ax2+bx-3(a≠0). (1)若函数图象的对称轴为直线x=1,且顶点在x轴上,求a的值; (2)若a=1,b=2,点(m,n)为该二次函数图象在第三象限内的点,请分别求出m,n的取值范围; (3)若点P(a,a-3)始终是函数图象上的点,求证:. 9.如图是某个二次函数的部分图像。 (1)求该二次函数的解析式。 (2)补全函数图象。 (3)若抛物线上点P(m,n)到y轴的距离不大于2,请根据图像直接写出n的取值范围。 10.如图,已知反比例函数y= (x>0)的图象与一次函 数y=﹣x+b的图象分别交于A(1,3)、B两点. (1)求m、b的值; (2)若点M是反比例函数图象上的一动点,直线MC⊥x轴于C,交直线AB于点N,MD⊥y轴于D,NE⊥y轴于E,设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2,S=S2﹣S1,求S的最大值. 11.探究函数y=x+ (x>0)与y=x+ (x>0,a>0)的相关性质. (1)小聪同学对函数y=x+ (x>0)进行了如下列表、描点,请你帮他完成连线的步骤;观察图象可得它的最小值为 ,它的另一条性质为 ; x … 1 2 3 … y … 2 … (2)请用配方法求函数y=x+ (x>0)的最小值; (3)猜想函数y=x+ (x>0,a>0)的最小值为 . 12.如图,小明的爸爸在相