专题1 特色专题(1) 三角函数中ω的取值范围问题（教师用书）-【正禾一本通】2023高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材新高考）

特色专题(一)　三角函数中ω的取值范围问题 【编者按】　根据三角函数的图象性质求解参数的值或取值范围是比较典型的一类问题，频频出现在高考试题中．这类问题一般涉及值域、单调性及周期性等性质，三角函数因为其函数性质的特殊性，如正弦函数和余弦函数的有界性，往往在确定变量范围，或者最大、最小值有关问题上起着特殊作用．如果试题本身对自变量的取值范围问题有限制，则更应该充分注意． 题型一　ω的取值范围与单调性相结合 【例1】已知ω>0，函数f(x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D．(0，2] 解析：选A．由＋2kπ<ωx＋<＋2kπ(k∈Z)， 得＋<x<＋(k∈Z，ω>0). 因为函数f(x)在上单调递减， 所以⊆， 即解得＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z. 因为所以0<ω≤2， 当k＝0时，≤ω≤，故选A． 【名师点评】 1.由函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的一个单调区间[m，n](区间也可以是开区间或半开半闭区间)求解ω或φ的取值范围，则将区间端点值代入后，去对应(k∈Z)或[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)列出不等式求解． 2．因为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的单调递减(增)区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围． 题型二　ω的取值范围与对称性相结合 【例2】若仅存在一个实数t∈，使得曲线：y＝sin (ω>0)关于直线x＝t对称，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选D．∵t∈，∴ωt－∈(－，－)，∴<－≤，∴<ω≤. 【名师点评】1.函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝－＋＋(k∈Z)，此时函数的对称中心和对称轴可用参数ω表示． 2．三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值． 题型三　ω的取值范围与三角函数的最值相结合 【例3】已知函数f(x)＝2sin ωx cos2－sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选D．f(x)＝2sinωx·cos2－sin2ωx＝sinωx[1＋cos (ωx－)]－sin2ωx＝sinωx，因为f(x)在上是增函数，ω>0，所以－ω≤ωx≤ω，所以－ω≥－，ω≤，所以0<ω≤.当ωx＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值，而f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以解得≤ω<.综上，≤ω≤. 【例4】若函数f(x)＝sin (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是(　　) A．∪ B．∪ C． D． 解析：选B．因为ω>0，π<x<2π， 所以ωπ＋<ωx＋<2ωπ＋， 又函数f(x)＝sin 在区间(π，2π)内没有最值， 所以函数f(x)＝sin 在区间(π，2π)上单调， 所以2ωx＋－＝ωπ<π， 解得0<ω<1，则<ωπ＋<. 当<ωπ＋<时，则2ωπ＋≤，所以0<ω≤； 当≤ωπ＋<时，则2ωπ＋≤，所以≤ω≤.故选B． 题型四　ω的取值范围与三角函数的零点、极值点相结合 【例5】(2022·全国高考乙卷)记函数f(x)＝cos (ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为__________． 解析：因为f(x)＝cos (ω>0，0<φ<π)， 所以最小正周期T＝，因为f(t)＝cos ＝cos ＝cos φ＝， 又0<φ<π，所以φ＝，即f(x)＝cos ， 又x＝为f(x)的零点，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝3＋9k，k∈Z， 因为ω>0，所以当k＝0时ωmin＝3. 答案：3 【例6】已知函数f(x)＝sin (ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，则函数f(x)在[0，π]上存在________个极小值点，实数ω的取值范围是________． 解析：根据三角函数图象的平移和伸缩变换，f(x)＝sin 的图象可由y＝sin x的图象向右平移个单位长度，然后所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的得到，则f(x)的大致图象如图所示．图中O点右侧的零点依次为，，，.由题意，f(x)在[0，π]上有且仅有3个零点，则f(x)在[0，π]上有1个极小值点，所以≤π<，解得ω的取徝范围是. 答案：1　 学科网（北京）股份有限公司 $