专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形（教师用书）-【正禾一本通】2023高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材新高考）

第二讲　三角恒等变换与解三角形　► 对应学生用书P7 核心考点(一)　三角恒等变换 【核心知识】 1．两角和与差的余弦、正弦及正切公式 ①cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ②cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ③sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ④sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ⑤tan (α＋β)＝(α≠kπ＋，k∈Z，β≠kπ＋，k∈Z，α＋β≠kπ＋，k∈Z) ⑥tan (α－β)＝(α≠kπ＋，k∈Z，β≠kπ＋，k∈Z，α－β≠kπ＋，k∈Z) 2．二倍角公式： ①sin 2α＝2sin αcos α ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α ③tan2α＝(α≠kπ＋，k∈Z，2α≠kπ＋，k∈Z，α≠kπ±，k∈Z) 3．辅助角公式： a cosx＋b sin x＝， 令sin θ＝，cos θ＝， ∴a cos x＋b sin x＝sin (x＋θ)，其中θ为辅助角，tan θ＝. 4．降幂公式 ①sin2α＝ ②cos2α＝ ③sin αcos α＝sin 2α 【典例引领·研明】 【典例】(1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin ＝1，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．∵sin θ＋sin ＝sin θ＋cos θ＝sin ＝1， ∴sin ＝.故选B． (2)已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值(即黄金分割值，该值恰好等于2sin 18˚)，则sin 100˚cos 26˚＋cos 100˚sin 26˚＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选D．由已知可得2sin 18˚＝，故sin 18˚＝，则sin 100˚cos 26˚＋cos 100˚sin 26˚＝sin 126˚＝sin (36˚＋90˚)＝cos 36˚＝1－2sin218˚＝1－2×()2＝.故选D． (3)(多选)下列各式中值为的是(　　 ) A．1－2cos275° B．sin135°cos 15°－cos 45°cos 75° C．tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25° D． 解析：选BD.对于A，1－2cos275°＝－cos 150°＝cos 30°＝，A错误； 对于B，sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°＝sin 45°sin 75°－cos 45°cos 75°＝－cos 120°＝，B正确； 对于C，∵tan 45°＝1＝，∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，∴tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，C错误； 对于D，＝ ＝＝＝＝，D正确；故选BD. (4)(2022·浙江高考)若3sinα－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝______，cos 2β＝____________. 解析：∵α＋β＝，∴sin β＝cos α， ∵3sin α－cos α＝， 即＝， 令sin θ＝，cos θ＝， 则sin (α－θ)＝，∴α－θ＝＋2kπ，k∈Z，即α＝θ＋＋2kπ， ∴sin α＝sin ＝cos θ＝，则cos 2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝. 答案：　 【解题方法】———————————————————————————————● 1．三角函数求值的类型及方法 给角 求值 解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形 给值 求值 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的 给值 求角 实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 2.三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 【对点集训·练透】 1．(2021·全国高考