7.3.2 正弦型函数的性质与图像-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第三册)

7.3.2 正弦型函数的性质与图像 一、正弦型函数的相关概念 1、定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. 2、对函数图像的影响 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （3）ω决定了函数的周期 3、的实际意义 （1）的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； （2）在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； （3）周期表示小球完成一次运动所需要的时间， 表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 二、正弦型函数的性质 1、定义域：R 2、值域： 3、周期： 4、奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； 当时，函数是非奇非偶函数； 5、单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间； 三、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 四、三角函数图像变换 1、振幅变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换 要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换 要得到函数（其中且）的图像，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、函数的图像经变换得到的图像的两种途径 5、三角函数图像变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图像，得到的是哪个函数图像，不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数到的变换量是个单位， 函数到时，变换量是个单位． 题型一 五点法作正弦型函数图像 【例1】用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，，_______． 【变式1-2】作出下列函数在一个周期图象的简图： （1）； （2）； （3） 题型二 正弦型函数的周期性 【例2】函数的最小正周期为（ ） A．π B．2π C．4π D．6π 【变式2-1】的最小正周期为___________. 【变式2-2】已知函数的最小正周期16，则=___________. 【变式2-3】已知，则____________. 【变式2-4】已知，______； 题型三 正弦型函数的对称性 【例3】函数的图象的一个对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列关于函数的图象，说法正确的是（ ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【变式3-2】已知函数，．若方程的两个解为，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】如果直线是函数图像的一条对称轴，则的最小正值为______. 【变式3-4】已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 题型四 正弦型函数的单调性 【例4】函数的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】的单调增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数在上的增区间是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知函数在上单调递增，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 题型五 正弦型函数的奇偶性 【例5】已知函数为偶函数，则的取值可以为（ ） A． B．