7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第三册)

7.2.3 同角三角函数的基本关系式 一、同角三角函数的基本关系式 1、平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 2、商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 注意以下三点： （1） “同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． （2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 二、三角函数求值问题处理方法 1、同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负． 2、已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口． 三、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 四、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 题型一 sina、cosa、tana知一求二 【例1】若为第三象限角，且，则（ ） A．2 B．-2 C． D． 【变式1-1】已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则( ) A． B． C． D． 【变式1-2】已知，为第三象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知角终边在第一象限，，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知A为锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 题型二 正、余弦齐次式的应用 【例2】已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】若，，则的值为（ ） A．； B．； C．； D．． 【变式2-3】已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 【变式2-4】已知，则＝（ ） A． B．2 C． D．6 【变式2-5】若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式2-6】（多选）若，则可以是（ ） A． B． C． D． 题型三 sinacosa、sina±cosa知一求二 【例3】设，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，求的值． 【变式3-2】为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【变式3-3】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知，是关于x的一元二次方程的两根． （1）求的值； （2）若，求的值． 题型四 三角函数化简求值问题 【例4】（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】函数的值域是（ ） A． B． C．