6.2.1空间向量基本定理 校本讲义-2022-2023学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区校本化讲义 编号004 §6．2.1　空间向量基本定理 目标要求 1、理解空间向量基本定理． 2、理解并掌握空间向量基本定理的应用． 学科素养目标 本章是在数学必修第二册“平面向量”的基础上展开的，内容包括空间向量的基本概念和运算，以及用空间向量解决直线、平面位置关系的问题等内容．通过本章的学习，要使学生体会向量方法在研究几何图形中的作用，并进一步培养学生的空间想象力． 本章充分利用空间向量与平面向量之间的内在联系，通过类比，引导学生将平面向量中的概念、运算以及处理问题的方法推广到空间，既使相关内容相互沟通，又使学生学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，促使他们体会数学探索活动的基本规律，提高他们对向量的整体认识水平．空间向量的概念、运算、正交分解、坐标表示以及用空间向量表示空间中的几何元素等，都是通过与平面向量的类比完成的．学生可以从中体验数学在结构上的和谐性，同时也感悟到推广过程中因维数增加所带来的影响．在内容叙述过程中，通过“旁白”、“思考”、“实验”、“链接”和习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等为学生提供了较大的思维空间． 重点难点 重点：空间向量基本定理的理解； 难点：空间向量基本定理的应用． 教学过程 基础知识点 空间向量基本定理 (1)定理： 如果空间中的三个向量a，b，c_____________，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组______________，使得p＝xa＋yb＋zc. (2)相关概念 如果三个向量e1，e2，e3_______________，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量． 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示． (3)推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得＝___________________． 【课前小题演练】 题1．有以下命题： ①如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么a，b不共线； ②O,A,B,C为空间四点,且向量不能构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面； ③已知{a,b,c}是空间的一个基底,则{a+b,a-b,c}也是空间的一个基底. 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 题2. 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量表示向量， 则 ( ) A. B. C. D. 题3.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题4. 在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,点M是棱CC₁的中点,连接B₁M,BC₁交于点P,则 ( ) A. B. C. D. 题5. (多选题)已知A,B,C,D，E是空间五点，且任意三点不共线.若与均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有 ( ) A.不能构成空间的一个基底 B.不能构成空间的一个基底 C.不能构成空间的一个基底 D.能构成空间的一个基底 题6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________． 题7．如图，在三棱柱中，是的中点，，且， 则____________． 题8. 已知平行六面体，，，，，设，，． （1）试用、、表示； （2）求的长度． 题9．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上且CQ∶QA′＝4∶1，用a，b，c表示以下向量： (1)； (2)； (3)； (4). 【当堂巩固训练】 题10．如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法： ①；②；③平面；④平面． 则以上说法中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 题11．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－