上海市华东师范大学第三附属中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试卷

上海市华东师范大学第三附属中学2021-2022年高二上12月月考数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.半径为2的球的体积为　　． 2.直线的倾斜角的大小为　　． 3.已知幂函数的图像过点，则实数　　． 4.已知，则直线的两点式方程为　　． 5.正方体的棱长为1，、分别在线段和上，则的最小值为　　． 6.圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是　　． 7.从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为　　（用数字作答） 8.已知直线，，平面，，满足且，则“”是“”的　　条件　　． 9.一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过定点作圆锥的截面中，最大截面面积为　　． 10.正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于　　． 11.若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为　　． 12.在棱长为3的正方体中，分别是棱、的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，则线段的取值范围是　　． 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题） 13.下列命题中正确的是　　 A．三点确定一个平面 B．垂直于同一直线的两条直线平行 C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线 D．若、、是三条直线，且与都相交，则直线、、共面 14.在正方体中，下列四个结论中错误的是　　 A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线与直线所成的角为 D．直线与直线所成的角为 15.已知函数，的图象与直线的三个相邻交点的横坐标依次是1、2、4，下列区间是函数单调递增区间的是　　 A． B． C． D． 16.定义域为的函数图象的两个端点为、，向量，是图象上任意一点，其中，．若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似阀值．下列定义在上函数中，线性近似阀值最小的是　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题） 17.如图，直三棱柱中，，，，点为线段的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小． 18.已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 19.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C. （1）求球冠所在球的半径R（结果用h、r表示）； （2）已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球 冠所在球的表面积. 20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点． （1）证明：； （2）求四棱锥的表面积； （3）求直线与平面所成角的大小． 21.已知函数的定义域为．且的图象连续不间断，若函数满足：对于给定的实数且．存在，使得，则称具有性质． （1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由； （2）求证：任取．函数，具有性质； （3）已知函数，，若具有性质，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $上海市华东师范大学第三附属中学2021-2022学年高二上12月月考数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.半径为2的球的体积为　　． 【解析】. 2.直线的倾斜角的大小为　　． 【答案】 3.已知幂函数的图像过点，则实数　　． 【答案】 4.已知，则直线的两点式方程为　　． 【答案】 5.正方体的棱长为1，、分别在线段和上，则的最小值为　　． 【解析】当、分别是线段和上的中点时，，， 即为异面直线和的公垂线段，即线段有最小值，且最小值为1. 6.圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是　　． 【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，所以， 所以母线与底面所成角的余弦值为，即所成角为． 7.从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为　　（用数字作答） 【解析】从甲、乙、丙、丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，有种选法， 则甲、乙两人都没有被选到，即丙、丁被选到的情况有1种， 则甲、乙两人都没有被选到的概率． 8.已知直线，，平面，，满足且，则“”是“”的　　条件　　． 【解析】“”不能推导出“”，“”“”， 所以“”是“”的必要非充分条件． 9.一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过定点作圆锥的截面中，最大截面面积为　　． 【解析】过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为． 10.正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面