专题11 二次函数与图形几何综合（6大考点）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

第三部分 函数 专题11 二次函数与图形几何综合（6大考点） 核心考点 核心考点一 线段问题 核心考点二 面积问题 核心考点三 角度问题 核心考点四 特殊三角形判定问题 核心考点五 特殊四边形判定问题 核心考点六 相似三角形判定问题 新题速递 核心考点一 线段问题 例1 （2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 例2 （2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d； （3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，-1），可以假设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-1，把点B坐标代入求出a即可． （2）由题意P（m，），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题． （3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：（1）设抛物线的函数解析式为 由题意,抛物线的顶点为 又抛物线与轴交于点 抛物线的函数解析式为 （2）证明：∵P（m，n）， ∴， ∴P（m，）， ∴， ∵F（2，1）， ∴， ∵，， ∴d2=PF2， ∴PF=d． （3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N． ∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ，DF是定值=， ∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小， ∵QF=QH， ∴DQ+DF=DQ+QH， 根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上， ∴DQ+QH的最小值为6， ∴△DFQ的周长的最小值为，此时Q（4，-）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题． 1. 确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）： ① 先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点； ② 再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数； ③ 继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）． 2. 线段数量关系问题： 根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）． 3. 线段最值问题： 求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对称性质”，最常见的有以下模型： （1） 定直线与两定点 ①同侧和最小值问题 ②同侧差最小值问题 ③同侧差最大值问题 ④异侧差最大值问题 （2）角与定点 ①一定点与两条直线上两动点问题 ②两定点与两条直线上两动点问题 【变式1】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，连接，先求出二次函数顶点坐标为，进而利用待定系数法求出二次函数解析式为，求出点B的坐标，进而求出点C的坐标，利用勾股定理求出的长，证明四边形是矩形，得到，则当时，有最小值，即有最小值，据此利用三角形面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵二次函数图象经过，且有最小值， ∴二次函数对称轴为直线， ∴二次函数顶点坐标为， 设二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵A点关于y轴的对称点为B点，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，