专题10 二次函数的实际应用问题（4大考点）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

第三部分 函数 专题10 二次函数的实际应用问题（4大考点） 核心考点 核心考点一 销售、利润问题 核心考点二 图形面积问题 核心考点三 抛物线型问题（拱桥、隧道等） 核心考点四 其他问题 新题速递 核心考点一 销售、利润问题 例1 （2021·辽宁沈阳·统考中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大． 【答案】11 【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元， 则 ， 所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大， 故答案为11． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． 例2 （2022·山东聊城·统考中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）． 【答案】121 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得： ， 解得， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元， ， ∵1<0， ∴当时，w有最大值为121， 故答案为：121． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键． 例3 （2021·江苏扬州·中考真题）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格x(元/千克) 30 35 40 45 50 日销售量p(千克) 600 450 300 150 0 (1)请直接写出p与x之间的函数关系式： (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值． 【答案】(1) (2)这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大 (3)a的值为2． 【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性； （2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可； （3）根据题意列出日销售利润与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值． 【详解】（1）解：由表格的数据可知：p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b， 则， 解得：k=-30，b=1500， ∴p=-30x+1500， ∴所求的函数关系为p=-30x+1500； （2）解：设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30）， 即， ∵-30<0， ∴当x=40时，w有最大值3000元， 故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大； （3）解：日获利=p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a）， 即， 对称轴为， ①若a＞10，则当x=45时，有最大值， 即=2250-150a＜2430（不合题意）； ②若0＜a≤10，则当x=40+a时，有最大值， 将x=40+a代入，可得， 当=2430时，， 解得=2，=38（舍去）， 综上所述，a的值为2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 1、常用公式有：利润=售价-成本价，总利润=单个商品的利润×销售量，利润率=利润/进价×100%，通过公式建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得到解决。 2、利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；(3)确定函数解析式；(4)确定二次函数的最值；(5)检验、解决实际问题。特别需要注意，解答此类型题要抓住关键的词和字，将实际问题转化为求函数最值问题。既要看