圆锥曲线中的定点、定值问题大题突破练-2023届高三数学二轮专题复习

冲刺2023年高考二轮 圆锥曲线中的定点、定值问题大题突破练 (原卷+答案) 1.双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点(,1),且渐近线方程为y=±x. (1)求a,b的值; (2)若抛物线x2=2py(p>0)与C的右支交于点A,B,证明:直线AB过定点. 2.平面直角坐标系xOy中,点F1(-,0),F2(,0),点M满足|MF1|-|MF2|=±2,点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)已知A(1,0),过点A的直线AP,AQ与曲线C分别交于点P和Q(点P和Q都异于点A),若满足AP⊥AQ,求证:直线PQ过定点. 3.已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B(,-1)两点. (1)求E的方程; (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足=.证明:直线HN过定点. 4.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F.点A(2,y0)在C上,|AF|=2 . (1)求p; (2)过F作两条互相垂直的直线l1,l2,l1与C交于M,N两点,l2与直线y=-1交于点P,判断∠PMN+∠PNM是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由. 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率是,实轴长是8. (1)求双曲线C的方程; (2)过点P(0,3)的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B,若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|·|DB|=|PB|·|DA|成立,证明:点D的纵坐标为定值,并求出该定值. 6.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(-,0),(,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2-,动点C的轨迹为曲线G. (1)求曲线G的方程; (2)设直线l与曲线G交于M、N两点,点D在曲线G上,O是坐标原点+=,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由. 参考答案 解析:(1)由双曲线过点(,1),有-=1,由渐近线方程为y=±x,有=1,可解得a=b=. (2)证明:由题意,抛物线与双曲线联立,⇒y2-2py+2=0, 因为抛物线与双曲线的右支相交,因此要满足Δ=4p2-8>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),即A,B,且x1≠x2,x1>0,x2>0, 所以有y1y2=·==2,可得x1x2=2p. 而直线AB的斜率为kAB==, 所以直线AB的方程为y-=(x-x1),即y=·x-,又因为x1x2=2p, 所以直线AB的方程化简为y=·x-,所以其过定点(0,-). 2.解析:(1)因为|MF1|-|MF2|=±2,所以||MF1|-|MF2||=2<2=|F1F2| 由双曲线定义可知,M的轨迹为双曲线,其中c=,a=1, 所以b==, 所以曲线C的方程为x2-=1. (2)若直线PQ垂直于x轴,易知此时直线AP的方程为y=±(x-1), 联立x2-=1,求解可得x=-3,直线PQ过点(-3,0). 当直线PQ斜率存在时,设直线PQ方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2), 代入x2-=1,整理得(k2-2)x2+2kmx+m2+2=0, 则x1+x2=,x1x2=. 因为AP⊥AQ,所以·=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2 =(k2+1)x1x2+(km-1)(x1+x2)+m2+1 =++m2+1=0, 整理得3k2+2km-m2=(3k-m)(k+m)=0, 解得m=3k或m=-k 因为点P和Q都异于点A,所以m=-k不满足题意, 故m=3k,代入y=kx+m,得y=k(x+3),过定点(-3,0). 综上,直线PQ过定点(-3,0). 3.解析:(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 将点A(0,-2),B(,-1)的坐标代入,得解得 所以椭圆E的方程为+=1. (2)证明:(方法一)设M(x1,y1),N(x2,y2). 由题意,知直线MN与y轴不垂直,设其方程为x-1=t(y+2). 联立得方程组 消去x并整理,得(4t2+3)y2+(16t2+8t)y+16t2+16t-8=0, 所以y1+y2=-,y1y2=. 设T(x0,y1).由A,B,T三点共线,得=,得x0=y1+3. 设H(x′,y′). 由=,得(y1+3-x1,0)=(x′-y1-3,y′-y1), 所以x′=3y1+6-x1,y′=y1, 所以直线HN的斜率k===, 所以直线HN的方程为y-y2=·(x-x2). 令x=0,得y=·(-x2)+y2 =+y2 = = =-2. 所以直线NH过定点(0,-2). (方法二)由A(0,-2