专题09 二次函数的图象与性质（6大考点）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

第三部分 函数 专题09 二次函数的图象与性质（6大考点） 核心考点 核心考点一 二次函数的图象与性质 核心考点二 与二次函数图象有关的判断 核心考点三 与系数a、b、c有关的判断 核心考点四 二次函数与一元二次方程的关系 核心考点五 二次函数图象与性质综合应用 核心考点六 二次函数图象的变换 新题速递 核心考点一 二次函数的图象与性质 例1 （2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 例2 （2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大， ∴二次函数的图像开口向上， ∴a-1＞0，即：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 例3 （2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________． 【答案】4 【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4）， ∴顶点到x轴的距离为4， ∵函数图象有三个点到x轴的距离为m， ∴m=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键． 知识点：二次函数的概念及表达式 1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点：二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时， y最小值= 当x=–时， y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据抛物线经过点(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根据顶点在第四象限，即可求出a的取值范围，则P的取值范围可求． 【详解】∵抛物线过点(-1,0)、(0,-1)， ∴有，且显然a≠0， ∴a-b=1，c=-1， 将抛物线配成顶点式：， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线顶点坐标在第四象限， ∴， ∵a-b=1， ∴， 解得：， ∵P=2a-b，a-b=1， ∴P=2a-b=a+a-b=a+1， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，根据抛物线经过的点和顶点在第四象限求出的a的取值范围是解答本题的关键． 【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据抛物线经过点(-1,0)、(0,-1)即可得到a-b=1，c=-1，再根据顶点在第四象限，即可求出a的取值范围，则P的取值范围可求． 【详解】∵抛物线过点(-1,0)、(0,-1)， ∴有，且显然a≠0， ∴a-b=1，c=-1， 将抛物