第15讲 19.2.1 正比例函数（知识精讲）　2022—2023学年人教版数学八年级下册

第15讲：19.2.1 正比例函数 素养目标 1．掌握菱形的判定，并能灵活运用解决问题． 2．综合运用菱形的性质与判定解决相关问题． 知识梳理 1．正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k 是常数，k ≠ 0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 【特别提醒】 一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，还要使实际问题有意义. 【注意】在正比例函数y=kx(k 是常数，k ≠ 0)中，一定要注意k ≠ 0这个条件. 当k=0 时，无论x 取何值，y 的值都是0，此时它不是正比例函数. 2. 判断正比例函数的方法 (1)所给等式是形如y=kx 的等式，两变量x，y 的次数都是1； (2)比例系数k 是常数，且k ≠ 0. 3.正比例函数的图象 （1）正比例函数的图象 一般地，正比例函数y=kx(k 是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx. 注意：有些正比例函数图象因其自变量取值范围的限制，并不一定都是一条直线，可能是一条射线或一条线段或一些点. （2）正比例函数图象的画法 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx(k ≠ 0)的图象. 一般地，过原点和点(1，k)的直线，即为正比例函数y=kx(k ≠ 0)的图象. 【特别提醒】 正比例函数y=kx(k ≠ 0) 中，|k| 越大，直线与x 轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k| 越小，直线与x 轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 3.正比例函数y=kx(k ≠ 0)的性质如下表： k>0 k<0 图象 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线(↗) 过原点，从左向右是下降的直线(↘) 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 【特别提醒】 对于正比例函数y=kx(k ≠ 0)，k的符号、图象所经过的象限、函数的增减性这三者，知其一则知其二. 考点精讲 题型1：正比例函数的定义及求字母参数 【典例】（2022春•新华区校级期中）如果函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|是x的正比例函数，那么k的值为（　　） A．0 B．1 C．0或2 D．2 【练一练】1．（2022秋•重庆期中）若y＝（|k|﹣2）x2+（k﹣2）x是y关于x的正比例函数，则k的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．3 2．（2022春•新洲区期末）下列函数中为正比例函数的是（　　） A．y＝3x2 B．y C．y D．y＝6x+1 题型2：待定系数法求正比例函数解析式 【典例1】已知y与x成正比例，且当x＝9时，y＝16，求y与x的函数关系式． 【分析】设y＝kx，然后利用y与x间的对应关系，列出方程，进而求解； 【典例2】（2022•南京模拟）已知y＝y1+y2，且y1﹣3与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝2时，y＝7，当x＝1时，y＝0． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）计算x＝4时，y的值． 【练一练】（2022秋•莲湖区校级期中）已知y与x﹣1成正比例函数关系，且x＝﹣2时，y＝6． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）求当x＝﹣3时，y的值； （3）求当y＝4时，x的值． 题型3：正比例函数的图象和性质 【典例1】已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（3，﹣6）． （Ⅰ）求这个函数的解析式； （Ⅱ）画出这个函数的图象； （Ⅲ）图象上有两点（﹣1，y1），（2，y2），比较y1与y2的大小． 【典例2】已知关于x的正比例函数y＝（m+2）x． ①m为何值时，函数图象经过第一、三象限？ ②m为何值时，y随x的增大而减小？ ③m为何值时，点（1，3）在该函数的图象上？ 【练一练】1．（2022春•顺平县期末）正比例函数yx的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2022春•老城区校级期中）当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 题型4：正比例函数解答实际问题 【典例1】列式表示下列问题中y与x的函数关系式，并指出哪些是正比例函数． （1）圆的半径为x，周长为y． （2）每本练习本0.5元，购买练习本的总费用y（元）与购买练习本的本数x（本）． （3）汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶时间为x小时，所行驶的路程为y千米． （4）某人一个月的收入为3500