2.3.2 等腰三角形的性质定理课件2022-2023学年 浙教版八年级数学上册

2.3.2 等腰三角形的性质定理 复习回顾 (1)等腰三角形是轴对称图形. (2)顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 1.等腰三角形的轴对称性: 2.等腰三角形的性质定理1: 3.等边三角形: 等边三角形的各个内角相等,都等于60°. 等腰三角形的两个底角相等. 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 2 新知导入 将一把三角尺和一个重锤如图放置,就能检查一根横梁是否水平,你知道为什么吗? 3 新知讲解 如下图,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线.在图中找出所有相等的线段和相等的角.由此你发现了等腰三角形还有哪些性质? A B C D 相等的线段 相等的角 AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 4 点击按钮演示动画 5 新知讲解 等腰三角形性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合,简称等腰三角形三线合一. 请你自己写出证明过程. 6 新知讲解 【思考】证明AD是△ABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高. A B C D 证明:在△ABC中∵ AD是角平分线,∴∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中, ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚ ∴AD是△ABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高 7 新知讲解 (1)如果AD是等腰三角形顶角的平分线, 那么AD也是 、 . (2)如果AD是等腰三角形底边上的中线, 那么AD也是 、 . (3)如果AD是等腰三角形底边上的高线, 那么AD也是 、 . 底边上的高线 底边上的中线 顶角的平分线 底边上的高线 底边上的中线 顶角的平分线 用文字语言表示为: A B C D 8 新知讲解 C A B 1 2 D 1 2 BD CD AD BC 1 2 AD BC BD CD 用符号语言表示为: 在△ABC中 (1)∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠_=∠_,_=_; (2)∵AB=AC,AD是中线, ∴∠_=∠_,_⊥_; (3)∵AB=AC,AD是角平分线, ∴_⊥_,_=_. 9 课堂练习 判断: 1、等腰三角形的顶角一定是锐角 2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 4、等腰三角形的角平分线、高线和中线的 总数一共能画出9条. 5、等腰三角形底边上的中线一定垂直于底边. (×) ( × ) (√ ) (×) (√ ) 新知讲解 E 证明:延长AD,交BC于点E. ∵ AD平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠CAD(角平分线的定义), 而AD=AD(公共边),∠ADB=∠ADC(已知), ∴ △ABD≌△ACD (ASA), 例3 已知:如图,AD平分∠BAC,∠ADB=∠ADC,求证:AD⊥BC. 11 新知讲解 E ∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等), ∴ △ABC是等腰三角形(等腰三角形的定义), ∵ AE是等腰三角形ABC顶角的平分线, ∴ AE⊥BC (等腰三角形三线合一), 即AD⊥BC. 例3 已知:如图,AD平分∠BAC,∠ADB=∠ADC,求证:AD⊥BC. 12 问题解决 将一把三角尺和一个重锤如图放置,就能检查一根横梁是否水平,你知道为什么吗? 因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边(底边)的中点时,重锤线(底边上的中线)与底边上的高叠合(等腰三角形三线合一),即三角尺的斜边与重锤线垂直,可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。否则梁就不是水平。 13 新知讲解 例4 已知线段a, h, 用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a, 底边BC边上的高线长为h. h a 分析 要作出等腰三角形ABC,关键是作出顶点A. 设底边BC上的高线为AD,根据“等腰三角形三线合一”的性质,AD也是底边BC上的中线。因此,只要作BC的垂直平分线l,然后在l上截取 DA=h,连结AB,AC,就得到所求作的等腰三角形. 14 新知讲解 作法: 1. 作线段BC=a. 2. 作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D. 3. 在直线l上截取DA=h, 连结AB, AC. △ABC就是所求作的等腰三角形. B C D · A l 作业题 2 15 课堂练习 1.如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC等于( ) A.30° B.20° C.25° D.15° D 16 课堂练习 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,直线MN分别交AB,AC于点M,N,连结BN,且AN=BN,ND⊥BC于点D,则∠BND的度数为( ) A.65° B.60° C.55° D.50° B 17 中考链接 3.【中考·遵义】如图,在△ABC中,点