考点11 双曲线大题11种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

考点11 双曲线大题11种常见考法归类 1、求双曲线轨迹常用方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 2、利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4、解析几何中的弦长、面积及最值问题 对于这类问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 5、圆锥曲线中定点、定值问题的求解方法 设直线方程为，设直线与圆锥曲线的交点为，直线方程与圆锥曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，假设定点存在，设出定点坐标，把定点满足的性质用坐标表示，代入后变形可求得定点坐标．如果是定值问题，则把代入要求定值的式子化简后可得． 6、直线过定点基本思路如下： （1）假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； （2）利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； （3）利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理； （4）由所得等式恒成立可整理得到定点. 7、等角定点基本思路如下： （1）假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； （2）得到韦达定理的形式； （3）角度相等，多可以转化为斜率相等或者相反等关系，利用韦达定理表示出等量关系，代入韦达定理整理； （4）由所得等式恒成立可整理得到定点. 8、圆过定点基本思路如下： （1）可以根据特殊性，计算出定点，然后证明 （2）利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算 （3）利用对称性，可以猜想出定点，并证明。 （4）通过推导求出定点（计算推导难度较大） 9、求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 10、解决直线与双曲线的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 考点一 求双曲线的方程 1．（2022秋·湖北·高二校联考期末）已知双曲线C的焦点和离心率. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与曲线C恒有两个不同的交点A和B，且，求k的取值范围. 2．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 3．（2022秋·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为，且经过点． (1)求双曲线C的方程； (2)求双曲线C的左顶点到渐近线的距离． 考点二 与双曲线轨迹有关的问题 4．（2022秋·河北张家口·高二统考期末）已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立． ①；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 5．（2022秋·福建·高二校联考阶段练习）已知圆，点是圆外的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点． (1)求点的轨迹的方程 (2)过点的直线交曲线于两点，问在轴是否存在定点使？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由． 6．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）双曲线的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线方程； (2)过点的直线与双曲线交于异支两点，求点的轨迹方程. 7．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)过点的直线l与曲线C交于M