考点09 双曲线的15种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

考点09 双曲线的15种常见考法归类 1、双曲线方程的辨识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　 2、求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 3、双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　　　 4、双曲线渐近线的求法和设法 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 5、求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解． (2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 6、直线和双曲线的一些重要结论 (1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解． (2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.　　 (3)双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 7、双曲线的实际应用 (1)双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题． (2)利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： ①建立适当的坐标系． ②求出双曲线的标准方程． ③根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 考点一 求双曲线的标准方程 1．（2022·广西·统考一模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·河北邯郸·高二校考期中）双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·云南丽江·高二统考期末）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ） A． B． C． D． 4．（2022秋·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2022春·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点二 双曲线的焦点三角形 6．（2022秋·河南濮阳·高二濮阳南乐一高校考阶段练习）双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．10 C．14 D．2或10 7．（2022秋·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022秋·天津南开·高二崇化中学校考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 9．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B． C． D．30 10．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 11．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为