2023年中考数学高频考点练习——解直角三角形及其应用

 

2023年中考数学高频考点练习——解直角三角形及其应用

一、单选题

1．将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是(　　)

A．cm B．2cm C．4cm D．cm

2．在边长为1的菱形ABCD中，0°＜∠A＜90°，设∠A＝α，则菱形的面积S与α的函数关系式为（　　） 

A．S＝sinα B．S＝cosα C．S＝tanα D．S＝ 

3．如图，在点O处的船只准备沿垂直河岸l1的路线OA驶向对岸12，但受水流的影响，实际路线比计划路线偏离a度，测得河宽为20米，则实际比原计划多行驶了（　　） ．

A．（ -20）米 B．（ -20）米

C．（20sinα-20）米 D．（20cosα-20）米

二、填空题

4．如图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE．如（2），小杰身高为1.6米，小杰在A处测得博物馆楼顶G点的仰角为27°，前进12米到达B处测得博物馆楼顶G点的仰角为39°，斜坡BD的坡i＝1：2.4，BD长度是13米，GE⊥DE，A、B、D、E、G在同一平面内，则博物馆高度GE约为　     　米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）

5．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是　     　nmile.（结果保留一位小数， ≈1.73） 

6．如图， 内接于 ， ，直径AD交BC于点E，若 ， ，则弦BC的长为　     　． 

三、综合题

7．如图，BC是坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是45°和60°.

（1）求灯杆CD的高度；  

（2）求AB的长度（结果保留根号）.  

8．如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F.

（1）求证：；

（2）若，求直径.

9．如图，在南北方向的海岸线 上，有 两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知 两船相距 海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，  上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上． 

（1）分别求出A与C，A与D间的距离 和 ； (本问如果有根号，结果请保留根号) (此提示可以帮助你解题：∵ ，∴ )

（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线 去营救船C，去营救的途中有无触礁的危险?(参考数据： )

10．如图，在 中， ， ， ，点 分别在边 上，且 ， ． 

（1）求 的长；  

（2）如果 ，用 表示 ．  

11．重庆八中将于2017年整体搬迁至渝北空港新城，新校园工程建设正在如火如荼的进行.经工程部管理人员同意，四位同学前往工地进行社会实践活动.如图，A、B、C是三个建筑原材料存放点，点B、C分别位于点A的正北和正东方向，AC＝400米.四人分别测得∠C的度数如表：

	甲	乙	丙	丁
∠C（单位：度）	34	36	38	40

他们又调查了各点的建筑材料存放量，并绘制了下列尚不完整的统计如图、如图：

（1）求表中∠C度数的平均数 ；  

（2）求A处的建筑原材料存放量，并将如图补充完整；  

（3）用（1）中的 作为∠C的度数，要将A处的全部建筑原材料沿道路AB运到B处，已知运1方建筑原材料每米的费用为0.1元，求运完全部建筑原材料所需的费用.（注：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）  

12．如图，AB是 的直径，AB=6，OC⊥AB，OC=5，BC与 交于点D，点E是 的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F. 

（1）求证：EF是 的切线；  

（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长.  

13．有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2是这种升降熨烫台的平面示意图，AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点 是它们的连接点， 表示熨烫台的高度. 

（1）如图2-1，若 ，求 的长(结果保留根号) ； 

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度 为 时，两根支撑杆的夹角 是 ，求该熨烫台支撑杆AB的长度. (参考数据： ) 

14．如图，某学校为了加固一篮球架，在下面焊接了一根钢筋撑杆AC，它与水平的钢板箱体成60°的夹角，且AB＝0.5m．原有的上撑杆DE＝1.6m，且∠BDE＝135°．

（1）求撑杆AC的长；  

（2）若篮板是边长为1m的正方形，上撑杆端点E在其中心位置，球篮连接篮板处为F，且EF＝ m，下面的钢板箱体厚度为0.3m，CD＝1.8m，则点F距地面的高度约为多少米？（结果精确到0.1m，参考数据： ≈1.41， ≈1.73．  

15．有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度，图2是这种升降熨烫台的平面示意图， 和 是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点， ， ， 表示熨烫台的高度. 

（1）如图2，若 ， . 

①点O到 的距离为　     　 ， 的长为　     　 （结果保留根号）；

②若 ，则熨烫台的高度h=　     　 ；

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为 时，两根支撑杆的夹角 是74°（如图3）.求该熨烫台支撑杆 的长度. 

（参考数据： ， ， ，

16．定义：在一个三角形中，若存在两条边 x 和 y，使得 y = x2 ，则称此三角形为“平方三角形”，x 称为平方边．

（1）若等边三角形为平方三角形，则面积为 是　     　命题；

有一个角为 30°且有一条直角边为 2 的直角三角形是平方三角形”是　     　命题；（填“真”或“假”）

（2）若a，b，c 是平方三角形的三条边，平方边 a=2，若三角形中存在一个角为 60°， 求 c 的值；

（3）如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点．

①若∠CAD=∠B，CD=1，求证，△ABC 是平方三角形；