辽宁省沈阳市第三十一中学2023年高二数学寒假作业

第一部分　我的假期我做主 寒假作业(一)　空间向量及其运算 【基础􀅰速问速答】 １．几类常见的空间向量 名称 定义 表示法 零向量 起点和终点　　　的向量 ０ 单位向量 模等于　　　　的向量 |a|＝　　　　或 |AB→|＝　　　　 向量共面 空间中的多个向量,如果表示 它们的有向线段通过平移之 后,都能在同一个平面内,则 称这些向量共面 a,b与c是共面的 相等向量 与向量a长度相等且方向相 同的向量 a 相反向量 与向量a长度　　　而方向 　　　的向量 　　　　 向量平行 (向量 共线) 如果两个非零向量的方向　 　　　　　,则称这两个向量 平行(也称这两个向量共线) a∥b 规定:零向量与任意向量　　 　　 ０∥a ２．向量共线的充要条件 (１)空间中,a≠０,b∥a的充要条件是存在 唯一的实数λ,使得b＝λa (２)如果存在实数λ,使得AB → ＝λAC →,则AB → 与AC → 平行且有公共点A,从而A,B,C 三 点一定　　　　． ３．空间向量的数量积及其性质 定义 已知两个　　　　向量a,b,则 　　　　　　　　　叫做向量 a,b的数量积(也称为内积),记 作a􀅰b,即a􀅰b＝　　　　　 　　　　　　．零向量与任意 向量的数量积为　　　,即０􀅰 a＝　　　 性质 a⊥b⇔　　　　;a􀅰a＝　　 　　＝　　　　; |a􀅰b|≤|a|􀅰|b| 运算律 (λa)􀅰b＝　　　　　　; a􀅰b＝b􀅰a(交换律); a􀅰(b＋c)＝　　　　　　　 (分配律)． ４．空间向量基本定理 (１)空间向量基本定理:如果空间中三个向 量a,b,c　　　　,那么对空间中的任意 一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y, z),使得p＝　　　　　　　　．特别地, xa＋yb＋zc＝０⇔　　　　　　． (２)基底:空间中不共面的三个向量a,b,c 组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一 组　　　　,此时,a,b,c都称为基向量．如 果p＝xa＋yb＋zc,则称xa＋yb＋zc为p 在基底{a,b,c}下的　　　　． ５．空间向量运算的坐标表示 若a＝(x１,y１,z１),b＝(x２,y２,z２)． 向量运算 坐标表示 a＋b 　　　　　　　　　　　 a－b 　　　　　　　　　　　 λa 　　　　　　　　　　　 a􀅰b 　　　　　　　　　　　 |a| x２１＋y２１＋z２１ cos‹a,b› x１x２＋y１y２＋z１z２ x２１＋y２１＋z２１ x２２＋y２２＋z２２ ６．空间两点间的距离公式与中点坐标公式 设A(x１,y１,z１),B(x２,y２,z２)是空间中任 意两点,M(x,y,z)为线段AB 的中点,则 (１)AB → ＝　　　　　　　　　　． (２)|AB → |＝　　　　　　　　　　． (３)x＝　 　　,y＝　　 　;z＝　 　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １ 【演练􀅰真枪实战】 １．已知在长方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,点E 是A１C１ 的中点,点F 是AE 的三等分点, 且AF＝１２EF ,则AF → ＝ (　　) A．AA１ → ＋１２AB → ＋１２AD → B．１２AA１ → ＋１２AB → ＋１２AD → C．１２AA１ → ＋１６AB → ＋１６AD → D．１３AA１ → ＋１６AB → ＋１６AD → ２．(多选题)如图所示,在正方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,下 列各式中运算的结果为向量 AC１ → 的有 (　　) A．(AB → ＋BC →)＋CC１ → B．(AA１ → ＋A１D１ →)＋D１C１ → C．(AB → ＋BB１ →)＋B１C１ → D．(AA１ → ＋A１B１ →)＋B１C１ → ３．已知空间向量a,b,且AB → ＝a＋２b,BC → ＝ －５a＋６b,CD → ＝７a－２b,则一定共线的三 点是 (　　) A．A,B,D B．A,B,C C．B,C,D D．A,C,D ４．A,B,C不共线,对空间任意一点O,若OP → ＝３４OA → ＋１８OB → ＋１８OC →,则P,A,B,C四点 (　　) A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 ５．正方体ABCDＧA′B′C′D′中,‹A′B →,B′D′ →› ＝ (　　) A．３０° B．６０° C．９０° D．１２０° ６．如图所示,已知 PA⊥平面 ABC,∠ABC＝１２０°,PA＝AB ＝BC＝６,则PC等于 (　　) A．６ ２ B．６ C．１２ D．１４４ ７．(多选题)在正方体 ABCDＧA１B１C１D