专题10 概率（公式、定理、结论图表）-2023年高考数学必背知识手册

 概率（公式、定理、结论图表） 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同. 【特别提醒】 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝. 3. 古典概型的概率公式 P(A)＝. 典例1：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求： (1)甲中奖的概率P(A)； (2)甲、乙都中奖的概率P(B)； (3)只有乙中奖的概率P(C)； (4)乙中奖的概率P(D)． 【思路点拨】先确定事件总数，再确定四个事件中包含的基本事件个数，用古典概率公式求解． 【解析】甲、乙两人按顺序各抽一张，5张奖券分别为A1，A2，B1，B2，B3，其中A1，A2为中奖券，则基本事件为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，A1)，(B1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，A1)，(B2，A2)，(B2，B1)，(B2，B3)，(B3，A1)，(B3，A2)，(B3，B1)，(B3，B2)，共20种． (1)若“甲中奖”，则有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共8种，故P(A)． (2)甲、乙都中奖含有的基本事件有(A1，A2)，(A2，A1)，共2种，所以P(B)＝． (3)“只有乙中奖”的基本事件有(B1，A1)，(B2，A1)，(B3，A1)，(B1，A2)，(B2，A2)，(B3，A2)，共6种，故． (4)“乙中奖”的基本事件有(A2，A1)，(B1，A1)，(B2，A1)，(B3，A1)，(Al，A2)，(B1，A2)，(B2，A2)，(B3，A2)，共8种，故． 【总结升华】 1、利用古典概型的计算公式时应注意两点： (1)所有的基本事件必须是互斥的； (2)m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏. 2、古典概型解题步骤： (1)阅读题目，搜集信息； (2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件； (3)求出基本事件总数和事件所包含的结果数； (4)用公式求出概率并下结论. 4.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅ P(A∪B)＝1 5.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B). 典例2：经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下： (1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少? 【思路点拨】利用互斥事件概率加法公式计算． 【解析】记“等候的人数为0”为事件A，“1人等候”为事件B，“2人等候”为事件C，“3人等候”为事件D，“4人等候”为事件E，“5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥． (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C， ∴ P(G)＝P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C) ＝0.1+0.16+0.3＝0.56． (2)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F， ∴ P(H)＝P(D+E+F)＝P(D)+P(E)+P(F) ＝0.3+0.1+0.04＝0.44． 【总结升华】第(2)问也可以这样解：因为G与H是对立事件，