第17讲 圆中的相似问题（含2017年上海中考真题25题）-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（上海专用）

第17讲 圆中的相似问题 【考点梳理】 这类题型一般涉及分类讨论的数学思想，它是初中数学考察的重点思想，也是考试中一大难点，同学们需要根据题意考虑不同的情况，进行解题． 【典型例题】 1．（2017•上海）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC． （1）求证：△OAD∽△ABD； （2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离； （3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长． 2．（2022•宝山区二模）如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F． （1）求证：＝； （2）如果AF•AD＝AO2，求∠ABC的正弦值； （3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值． 3．（2022春•徐汇区期中）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E． （1）如图，当AD＝DP时，求； （2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数； （3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求BC的长． 4．（2022春•虹口区校级期中）已知：如图，在半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结BE、CD． （1）若C是半径OB中点，求∠OCD的正切值； （2）若E是弧AB的中点，求证：BE2＝BO•BC； （3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长． 5．（2022春•虹口区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AO平分∠BAC且交BD于点O． （1）求证：BO＝2OD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠CBD的余弦值； （3）以O为圆心、OD长为半径的圆交线段BO于点E，连结CE．当△CDE与△AOB相似时，求AB：BC的值． 6．（2021•虹口区二模）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanA＝，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D． （1）如图，当MC＝AC时，求CD的长； （2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长． 7．（2021•浦东新区模拟）已知：半圆O的直径AB＝6，点C在半圆O上，且tan∠ABC＝2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图） （1）求BC的长； （2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长； （3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长． 8．（2022春•金山区月考）已知：△ABC内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO交边AC于点E． （1）如果点E恰好是边AC的中点，求边AB的长； （2）如果△ABE∽△ACB，求∠ABC的大小； （3）当△AEO为等腰三角形时，求∠ABC的大小． 9．（2022•浦东新区校级模拟）如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，EF是BC边上的中位线，点G为BE中点，点P是底边BC上一动点，线段CG与线段PF交于点Q，联结EQ． （1）若PC＝3BP，证明：EQ∥AC，且EQ＝AC； （2）如图2，当AB＝5，BC＝6时，若以点B为圆心，以BP为半径的圆与以EF为直径的圆相切，求BP的长； （3）若AB＝6，BC＝4，且△EFQ与△CPF相似，求BP的长． 10．（2022春•青浦区期中）梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC于点C，AB＝10，tanB＝，⊙O1以AB为直径，⊙O2以CD为直径，直线O1O2与⊙O1交于点M，与⊙O2交于点N（如图1），设AD＝x． （1）记两圆交点为E、F（E在上方），当EF＝6时，求x的值； （2）当⊙O2与线段AO1交于P、Q时，设PQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）联结AM，线段AM与⊙O2交于点G，分别联结NG、O2G，若△GMN与△GNO2相似，求x的值． 11．（2021•宝山区二模）如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B、点C，AC与BD交于点P． （1）如果AB＝3，CD＝5，以点P为圆心作圆，圆P与直线BC相切． ①求圆P的半径长； ②又BC＝8，以BC为直径作圆O，试判断圆O与圆P的位置关系，并说明理由． （2）如果分别以AB、CD为直径的两圆外切，求证：△ABC与△BCD相似． ( 9 )原创精品资源学科网独