第15讲 相似三角形与线段比、面积比问题（含2019年上海中考真题25题）-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（上海专用）

第15讲 相似三角形与线段比、面积比问题 【考点梳理】 这类题型一般涉及分类讨论的数学思想，它是初中数学考察的重点思想，也是考试中一大难点，同学们需要根据题意考虑不同的情况，进行解题． 【典型例题】 1．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E． （1）求证：∠E＝∠C； （2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值； （3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值． 2．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点M是射线BA上的一动点，BP⊥CM，垂足为P，PD⊥PN，与射线BC交于点N，联结DN． （1）若点M在边AB上（与点B、A不重合）． ①求证：； ②联结DN，设BM＝x，，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域； （2）若S△DPN＝3S△CPN，求出BM的长． 3．（2022•长宁区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是边BC上一点，∠APC＝45°，PD⊥AB，垂足为点D，AB＝4，BP＝4． （1）求线段PD的长； （2）如果∠C的平分线CQ交线段PD的延长线于点Q，求∠CQP的正切值； （3）过点D作Rt△ABC的直角边的平行线，交直线AP于点E，作射线CE，交直线PD于点F，求的值． 4．（2022春•长宁区校级月考）如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，cosB＝，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC＝x，＝y． （1）如图1，当x＝4时，求AF的长； （2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若AC⊥AE，求AF的长． 5．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为边BC上一动点（不与点B、C重合），联结AD，过点C作CF⊥AD，分别交AB、AD于点E、F，设BD＝x，＝y． （1）当x＝3时，求tan∠BCE的值； （2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）当x＝3时，在边AC上取点G，联结BG，分别交CE、AD于点M、N．当△MNF∽△ABC时，请直接写出AG的长． 6．（2021秋•黄浦区期末）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF． （1）求证：AE＝AC； （2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域； （3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长． 7．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cotA＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F． （1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值； （2）求证：AD•BF＝BC•DE； （3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB． 8．（2021秋•虹口区期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanB＝，点D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F． （1）当点E在线段AB上时，求证：＝； （2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长． 9．（2022秋•黄浦区校级月考）已知△ABC，AD是一条角平分线． （1）【探究发现】如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴　DE＝DF　，（ 　角平分线的性质　） ＝　　，∵，∴ （2）【类比探究】如图2所示，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．求证：； （3）【拓展应用】如图3所示，在△ABC中，∠BAC＝60°，BF、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线且相交于点D，若，直接写出的值是 　2﹣　． 10．（2022秋•虹口区校级月考）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点． （1）求证：△PCE≌△EDQ； （2）延长PC，QD交于点F． ①如图2，若∠MON＝150°，求证