第14讲 圆与特殊三角形的存在性（含2020年上海中考真题25题）-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（上海专用）

第14讲 圆与特殊三角形的存在性 【考点梳理】 1．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 2．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 3．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 4．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 5．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【典型例题】 1．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长． 2．（2022•金山区二模）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D，与边AB的另一个交点是点E，过点O作AB的平行线与圆O相交于点P，与BC相交于点Q，DP的延长线交AB于点F，联结FQ． （1）求证：DP＝EP； （2）设OA＝x，△FPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求AO的长． 3．（2022•宝山区二模）如图，已知AB为圆O的直径，C是弧AB上一点，联结BC，过点O作OD⊥BC，垂足为点E，联结AD交BC于点F． （1）求证：＝； （2）如果AF•AD＝AO2，求∠ABC的正弦值； （3）联结OF，如果△AOF为直角三角形，求的值． 4．（2022•松江区校级模拟）如图1，点C是半圆AB上一点（不与A、B重合），OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC于点E，连接AD交BC于点F． （1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小； （2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求∠ABC的正弦值； （3）连接OF，⊙O的直径为4，如果△DFO是等腰三角形，求AD的长． 5．（2022春•徐汇区期中）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交PA、PO于点D、E． （1）如图，当AD＝DP时，求； （2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数； （3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求BC的长． 6．（2022春•静安区期中）如图，OA是⊙O的半径，且OA＝6．延长OA至点B，使得OA＝AB．弦DE过OA的中点C（D、O、A不共线），联结DB． （1）如图（1），当DE＝DB时，证明：D