2023年中考数学专题突破——三角形的内切圆与圆心

2023年中考数学专题突破——三角形的内切圆与圆心 一、综合题 1．如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆 相交于点 ，过 作直线 . （1）求证： 是 的切线； （2）求证： ； （3）若 ， ，求 的半径. 2．已知开口向上的抛物线 与直线：y=ax+c，y=cx+a中的每一条都至多有一个公共点. （1）求 的最大值； （2）当 取最大值时，设直线 交抛物线 于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC内切圆的半径为1，求a的值. 3．我们引入如下概念， 定义；到三角形的两条边的距离相等的点，叫做此三角形的准内心，举例：如图1，PE⊥BC，若PE＝PD则P为△ABC的准内心 （1）填空；根据准内心的概念，图1中的点P在∠BAC的　 　上． （2）应用；如图2，△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，准内心P在AB上，求P到AC边的距离PD的长． （3）探究；已知△ABC为直角三角形，AC＝BC＝6，∠C＝90°，准内心P在△ABC的边上，试探究PC的长． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E. （1）求证：⊙P与直线AC相切. （2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径. 5．如图， ， ， ， ． （1）请你用无刻度的直尺和圆规，作出 的内切圆 （保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）求 的半径长． 6．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC和∠BAC的平分线交于点E，延长AE分别交BC，⊙O于点F，D，连接BD。 （1）求证：BD=DE。 （2）若BD=6，AD=10，求EF的长。 7．如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆圆 相交于点 ，过 作直线 . （1）求证： 是圆 的切线； （2）若 ， ，求优弧 的长. 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设 ， ， 为三角形三边， 为面积，则 ① 这是中国古代数学的瑰宝之一. 而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 （周长的一半），则 ② （1）尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究.经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①②或者②① ； （3）问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式：如图， 的内切圆半径为 ，三角形三边长为 ， ， ，仍记 ， 为三角形面积，则 . 9．如图 （1）如图1，在面积为6的△ABC中，BC＝3，AB＝4，AC＝5，求△ABC内切圆O的半径r的值． （2）如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB＝a、BC＝b、CD＝c、AD＝d，求四边形的内切圆半径r的值． （3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、……、an，合理猜想其求内切圆半径r的公式（不需说明理由） 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE． （1）求证：DB=DE； （2）求证：直线CF为⊙O的切线． 11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC. （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若DE＝6，BC＝6 ，求优弧 的长. 12．如图，ΔABC是直角三角形，∠C=90°. （1）请作出ΔABC的内切圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）. （2）设（1）中作出的⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，BC=8，AC=6，①∠AOB=　 　°；②BD=　 　. 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2，I是△ADC的内心，∠ADB=45°． （1）求⊙O半径的长； （2）求证：BC＝BI． 14．已知等腰中，AB＝AC. （1）如图1，若为的外接圆，求证：； （2）如图2，若，，I为的内心，连接IC，过点I作交AC于点D，求ID的长. 15．如图， 是△ABC的外心，I是△A