1.4.1 角平分线 课件 　2022—2023学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 第4节 角平分线（第1课时） 北师大版 八年级下册 教师：CQY 1 学习重点 学习难点 利用角平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题. 掌握角平分线的性质定理及其逆定理并能进行证明. 学习目标 1. 探索并理解角平分线的性质和判定． 2．会运用角平分线的性质和判定解决有关问题． 前 言 创设情境，导入新课 如图是小明制作的风筝，他根据AB＝AD，BC＝DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？ 实践探究，交流新知 将准备好的∠AOB按如图所示的方式折叠，折出如图所示的折痕PD，PE，量一量PD，PE的长度，你有什么发现？ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等． 实践探究，交流新知 已知：∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， 求证：PD＝PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO＝∠PEO＝90° 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO(AAS) ∴PD＝PE 定理1 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言 ∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD＝PE 实践探究，交流新知 想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ （1）写出“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这一命题的逆命题． （2）判断问题（1）中得到的逆命题是不是真命题． （3）证明“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”. （4）角平分线的判定定理用符号语言怎样表示？ （5）角平分线的判定定理的特征是什么？ 实践探究，交流新知 已知：P是∠MON内一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且PA＝PB. 求证：点P在∠MON的平分线上． 证明：连接OP. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL) ∴∠1＝∠2 ∴OP平分∠MON，点P在∠MON的平分线上 定理2 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 几何语言 ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2(OP平分∠MON). 开放训练，体现应用 例1　(教材第29页例1)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长． 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30° 在Rt△ADE中，∠BAD＝30° ∴DE＝AD＝5 开放训练，体现应用 例2　如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF.求证：BD＝CD. 证明：连接AD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF ∴∠BAD＝∠CAD 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SAS) ∴BD＝CD 开放训练，体现应用 变式训练1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D. 若AB＝10，S△ABD＝15，求CD的长． 解：过点D作DE⊥AB于点E ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC ∴DE＝CD ∴S△ABD＝AB·DE＝×10·DE＝15，解得DE＝3 ∴CD＝3 开放训练，体现应用 变式训练2　如图所示，已知E，F为AB，AC上的点，且BF⊥AC，CE⊥AB，BD＝CD，求证：点D在∠BAC的平分线上． 证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB ∴∠BED＝∠CFD＝90° 又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD ∴△BDE≌△CDF(AAS) ∴DE＝DF ∴点D在∠BAC的平分线上 课堂检测，巩固新知 1. 如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA，垂足为D.若PD＝5，Q为OB上一动点，则PQ的最小值为 ． 2．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. (1)求证：AM平分∠DAB； (2)若AD＝5，BC＝4，求四边形ABCD的面积． 5 第1题 第2题 课堂检测，巩固新知 2．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. (1)求证：AM平分∠DAB； (2)若AD＝5，BC＝4，求四边形ABCD的面积． 解：(1)证明：过点M作ME⊥AD于点E， ∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD ∴MC＝ME ∵M为BC的中点 ∴BM＝MC＝ME ∵∠B＝90°，ME⊥AD ∴AM平分∠DAB (2)∵BC＝4 ∴ME＝BM＝BC＝2 在Rt△AEM和Rt△ABM中， ∴Rt△AEM≌Rt△ABM(HL) 同理Rt△DCM≌Rt△DEM(HL) ∴S四边形ABCD＝2S△AMD＝2××5×2＝10 课堂小结，整体感知 1.课堂小结：请