1.3.1 线段的垂直平分线 课件 　2022—2023学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 第3节 线段的垂直平分线（第1课时） 北师大版 八年级下册 教师：CQY 1 学习重点 学习难点 运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆定理. 垂直平分线的性质定理及判定定理在实际问题中的准确运用. 学习目标 1.会证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理． 2．能运用线段的垂直平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算． 前 言 回顾旧知，导入新课 1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 2．什么是线段的垂直平分线？ 3．如何用尺规作线段的垂直平分线？ 4. 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，那么线段的垂直平分线有什么性质呢？如何证明呢？如何判断一条直线是不是线段的垂直平分线呢？这节课我们就来研究它. 实践探究，交流新知 如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，你有什么发现？ 教师讲解题意并在黑板上绘出图形： 实践探究，交流新知 猜想：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点． 求证：PA＝PB. 证明：∵MN⊥AB ∴∠PCA＝∠PCB＝90° 又∵AC＝BC，PC＝PC ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴PA＝PB 线段的垂直平分线的性质性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 实践探究，交流新知 你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？ 已知：如图，线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上． 证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C. ∵PA＝PB，PC⊥AB， ∴AC＝BC. ∴点P在AB的垂直平分线上 线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.　 开放训练，体现应用 例1　(教材第22页例1)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.（解法不唯一） 证明：∵AB＝AC， ∴点A为线段BC垂直平分线上的一点 ∵OB＝OC， ∴点O为线段BC垂直平分线上的一点 ∴直线AO是线段BC的垂直平分线 开放训练，体现应用 例2　如图，在Rt△ABC中，DE为AB的垂直平分线． (1)如果AC＝6 cm，BC＝8 cm，试求△ACD的周长； (2)如果∠CAD∶∠BAD＝1∶2，求∠B的度数． 解：(1)∵DE为AB的垂直平分线 ∴DA＝DB ∴△ACD的周长为AC＋CD＋DA＝AC＋CD＋DB ＝AC＋BC＝14(cm) (2)设∠CAD＝x°，则∠BAD＝2x° ∵DA＝DB ∴∠BAD＝∠B＝2x° ∵∠C＝90° ∴x＋2x＋2x＝90，解得x＝18 则∠B＝2x°＝36° 开放训练，体现应用 变式训练1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE. (1)若∠A＝35°，则∠CBE＝ ； (2)若AE＝3，EC＝1，则△ABC的面积为 ． 开放训练，体现应用 变式训练2　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上． 解：∵EG垂直平分BD ∴∠EGB＝90°，BE＝DE ∴∠BEG＝∠DEG ∵∠ACB＝90°，∴EG∥AC ∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE ∴∠EAF＝∠AFE ∴AE＝EF ∴点E在AF的垂直平分线上 课堂检测，巩固新知 1.如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB，则下列结论正确的有( ) ①AO＝BO；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段AB的垂直平分线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2． 2．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝ . 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E. (1)若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数； (2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． A 24° 课堂检测，巩固新知 解：(1)∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠BAC＝25° ∵DE⊥AB ∴∠AED＝90° ∴∠EDA＝90°－25°＝65° (2)证明：∵DE⊥AB ∴∠AED＝90°＝∠ACB 又∵AD平分∠BAC ∴∠DAE＝∠DAC 又∵AD＝A