专题05 三角函数（公式、定理、结论图表）-2023年高考数学必背知识手册

 三角函数（公式、定理、结论图表） 1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的表示 如图，(1)始边：射线的起始位置OA， (2)终边：射线的终止位置OB， (3)顶点：射线的端点O. 这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 3．任意角的分类 (1)按旋转方向分 (2)按角的终边位置分 ①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． ②分类： 4．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同． 5．度量角的两种单位制 (1)角度制： ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的. (2)弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 6．弧度数的计算 思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 7．角度制与弧度制的换算 8．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 9.扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. 10．单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 11．任意角的三角函数的定义 (1)条件 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (2)结论 ①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x； ③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)． (3)总结 ＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数． 12．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 sin α R cos α R tan α 13.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 14．诱导公式一 15．平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝1. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 16．商数关系 (1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？ 提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关． 17.诱导公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α， cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan_α. 18．诱导公式三 (1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示． (2)公式：sin(－α)＝－sin_α， cos(－α)＝cos_α， tan(－α)＝－tan_α. 19．诱导公式四 (1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示． (2)公式：sin(π－α)＝sin_α， cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α. 思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？ (2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？ 提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. (2)诱导公式一～四都不改变函数名称． 20．诱导公式五 (1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示． (2)公式：sin＝cos_α， cos＝sin_α. 21．诱导公式六 (1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－. (2)公式：sin＝cos_α， cos＝－sin_α. 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？ 提示：sin＝sin ＝sin＝cos α. cos＝cos＝－cos＝－sin α. 22．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． 23．正弦函数图象的画法 (1)几何法： ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位