考点06 椭圆-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

考点06 椭圆 1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．　　　　 2、椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）. （3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　 3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法 (1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0. (2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． (3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　 4、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．　　　　 5、点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1. 6、求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．　　　 7、判断直线与椭圆的位置关系 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． 8、解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点， 则 由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.　　　　 9、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．　　　　 10、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题． (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解． (3)用解得的结果说明原来的实际问题． 考点一 求椭圆的标准方程 1．（2022秋·吉林·高二统考期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·新疆·高二新疆实验校考期中）已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·陕西西安·高二西安市第三中学校考期中）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2022秋·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期中）已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交