第一讲用椭圆定义解题2——直接用定义 课件-2023届高考数学二轮专题之椭圆小题突破

第一讲　用椭圆定义解题1－－直接用定义 1.（1）设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E(0,t)(0<t<b).已知动点P在椭圆上,且P,E,F2三点不共线,若△PEF2的周长的最小值为3b,则椭圆C的离心率为 . [解析] 如图,连接EF1,F1P,易知|EF1|=|EF2|,△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|=|PE|+2a-|PF1|+|EF2| =2a+|EF2|+|PE|-|PF1| ≥2a+|EF2|-|EF1|=2a=3b, 所以e====,故选D. －|EF1|≤|PE|-|PF1|≤|EF1| （2）设椭圆：的一个焦点F(2,0)，点A(-2,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是 . 8=|PA|+|PF|= |PA|+2a-|PF1| 2a-8=|PF1|-|PA| －1≤2a-8≤1 [] （3）已知点P是椭圆 上一动点，Q是圆(x+3)2+y2=1上一动点，点M(6,4)，则|PQ| -|PM|的最大值为　　. 6 2.（1）已知F是椭圆：的右焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆 (x-)2+y2= 　　　　　　 相切于点Q (其中c为椭圆的半焦距)，且，则椭圆E的离心率为　　　. （1）已知F是椭圆：的右焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆C：(x-)2+y2= 相切于点Q (其中c为椭圆的半焦距)，且，则椭圆E的离心率为　　　. 解：设圆心为C(,0)，则|F1C|=2|FC| ∵线段PF与圆(x-)2+y2= （其中c2=a2﹣b2）相切于点Q， ∴CQ⊥PF∴PF1⊥PF， e= ∴b2+(2a-b)2=4c2∴b2+(2a-b)2=4(a2-b2)∴2a= ∴PF1∥QC， ∴|PF1|=b，|PF|=2a-b， 设椭圆的左焦点为F1，连接F1， （2）设F是椭圆E：的一个焦点，P是E上的点，圆x2+y2=与直线PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则E的离心率为　　. （2）设F是椭圆E：的一个焦点，P是E上的点，圆x2+y2=与直线PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则E的离心率为　　. 解：如图，取AB中点H， 则OH⊥AB， A、B三等分线段PF，H也是PF中点，即OH⊥ PF. 椭圆另一个焦点为E，连结PE，则PE⊥ PF. 设OH＝d，则PE=2d，PF=2a-2d， . 在Rt△OHA中，OA2=OH2+AH2，解得a=5d. 在Rt△OHF中，，，，OF＝c， 由OF2＝OH2＋FH2化简得17a2=25c2 e= 解题规律总结 由一个焦点想另一个焦点 3．（1）已知F是椭圆的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是　　　. [,1) 3．（1）已知F是椭圆的一个焦点，若过原点的直线与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是　　　. 当且仅当|AF|=|AF′| 时等号成立， 解： （2）已知椭圆上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[,]，则该椭圆的离心率e的取值范围为　　　　. [, （2）已知椭圆上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[,]，则该椭圆的离心率e的取值范围为　　　　. 解： （3）椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，≥，则离心率的取值范围为　　　　. (, （3）椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，≥，则离心率的取值范围为　　　　. 法一： 设|PF1|=n, |PF2|=m,由x1>0，y1>0，知m<n. 由， 得 ， （), a), (2+), 另外，PF1⊥PF2，知e> 所以e∈(, 所以，四边形PF1QF2为矩形，QF1＝PF2； |PQ|=2|OP|=2|OF2|， （3）椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，≥，则离心率的取值范围为　　　　. 所以，四边形PF1QF2为矩形，QF1＝PF2； 设|PF1|=n, |PF2|=m,由x1>0，y1>0，知m<n. |PQ|=2|OP|=2|OF2| m+n=2a,m2+n2=4c2,得mn=2(a2-c2). 法二： （3）