专题04 平行四边形的性质与判定重难点题型专训-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题04 平行四边形的性质与判定重难点题型专训 【题型目录】 题型一 利用平行四边形的判定定理证明 题型二 利用平行四边形的性质求角度 题型三 利用平行四边形的性质求长度 题型四 利用平行四边形的性质求面积 题型五 平行四边形中的最值问题 题型六 平行四边形中的翻折问题 题型七 平行四边形的存在性问题 题型八 平行四边形的性质与判定综合题型 【经典例题一 利用平行四边形的判定定理证明】 【知识归纳】 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【例1】（2022秋·湖北荆门·八年级湖北荆门外语学校校考期中）如图，，，和相交于点O，E，F过点O且与，分别交于点E，F，则图中全等三角形的组数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据已知易得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的对边相等，对角线相互平分， ∴， ∵， ∴， 根据对顶角相等有，， ∴，，，，，． 故图中的全等三角形共有6对． 故选：D． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定方法，平行线的性质等，常用的判定方法有等．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 【变式训练】 【变式1】（2022春·河南南阳·八年级南阳市第三中学校考阶段练习）如图，在中，直线，并且与、的延长线分别交于、，交于，交于．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，性质和三角形全等的判定定理，判断选择即可． 【详解】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC，MD∥FB，BN∥ED． 因为EF∥BD， 所以四边形BFMD、四边形BNED都是平行四边形， 所以BF=DM，BN=DE，BD=FM=NE， 所以FM-MN=EN-MN即FN=EM， 所以 所以①④正确； 因为AD=BC=AM+MD=AM+BF， 所以③正确； 无法证明， 所以②错误， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定，熟练掌握销售部小的判定和性质是解题的关键． 【变式2】（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________ 【答案】 【分析】过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则，先证得是等边三角形，可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作，交延长线于点H，过D作于点G，则， ∵D是边上的中点， ∴， ∵把沿翻折，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了图形的折叠，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，根据题意得到是解题的关键． 【变式3】（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，已知，P、F是、上一点． (1)用尺规作图法作； (2)若，，，求与的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定，作，得到，在上取点E，使连接EF即可作出； （2）过点O作的延长线于点G，则的长度即为与的距离，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，过点O作的延长线于点G，则的长度即为与的距离， ， ， ， ， ， 即与的距离为． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 【经典例题二 利用平行四边形的性质求角度】 【知识归纳】 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心； 特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明