13第三章 第四节 二次函数的图象与性质-【智乐星中考·中考备战】2023年山东枣庄中考数学

精讲本 2023 ZZ 数学 1 第四节　二次函数的图象与性质 1．一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数． 知识点1 二次函数的概念及表达式 2 2．二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，a≠0. 3 1．二次函数的图象与性质 知识点2 二次函数的图象与性质 4 5 减小 增大 增大 减小 6 求函数最值的常用方法 求函数的最值时，若自变量的取值范围为x1≤x≤x2： (1)若对称轴在该范围内，则最大、最小值都存在，分别在顶点和一端点处取得； (2)若对称轴不在该范围内，则最大、最小值也都存在，并在端点处取得． 7 2．二次函数图象的特征与a，b，c的关系 8 9 1．将抛物线表达式化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为(h，k)． 2．保持抛物线y＝ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如下： 知识点3 抛物线的平移 10 二次函数与方程、不等式的关系 1．与方程的关系 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标． 知识点4 11 (2)①b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有_____个交点； ②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有_____个交点； ③b2－4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴_______交点． 两 一 没有 12 2．与不等式的关系 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集⇔抛物线位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围． (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集⇔抛物线位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围． 13 二次函数与方程、不等式的关系 ax2＋bx＋c＝d(a≠0)⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c在函数值y＝d时对应的x的值；ax2＋bx＋c>d(a≠0)⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c在直线y＝d上方对应的x的取值范围；ax2＋bx＋c<d(a≠0)⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c在直线y＝d下方对应的x的取值范围． 14 例1 (2017·枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结 论正确的是(　　) A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a<0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而增大 命题点1 二次函数的图象与性质 (10年4考) C 15 练1 (2021·东营)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) C 16 练2 (2022·威海)如图，二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象过点(2， 0)，下列结论错误的是(　　) A．b＞0 B．a＋b＞0 C．x＝2是关于x的方程ax2＋bx＝0(a≠0)的一个根 D．点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数的图象上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0 D 17 二次函数表达式的确定 (10年9考) 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(1，－4)， (－1，2)，(－2，8)，求二次函数的表达式． 命题点2 18 【规范解答】 19 变式1 设y＝a(x－h)2＋k，求表达式 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点为(2，4)，且经过点(3，5)，求二次函数的表达式． 解：设二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋4(a≠0)． 将(3，5)代入二次函数的表达式得a＝1， ∴二次函数的表达式为y＝(x－2)2＋4＝x2－4x＋8. 20 变式2 设y＝ax2＋c，求表达式 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在y轴上，最大值为4，且经过点(1，3)，求二次函数的表达式． 解：由题意可知，函数顶点坐标为(0，4)， ∴设二次函数的表达式为y＝ax2＋4(a≠0)． 将(1，3)代入二次函数的表达式得a＝－1， ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4. 21 变式3 设y＝a(x－h)2，求表达式 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在x轴上，对称轴为直线x＝1，且