06第二章 第二节 一元二次方程及其应用-【智乐星中考·中考备战】2023年山东枣庄中考数学

精讲本 2023 ZZ 数学 1 第二节　一元二次方程及其应用 1．一元二次方程：只含有_____个未知数x的整式方程，并且都可以化 成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元 二次方程． 知识点1 一元二次方程的有关概念 一 2 2．一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)．其中ax2，bx，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项 系数． 3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左、右两边_______的未知 数的值叫做一元二次方程的解(根)． 相等 3 知识点2 一元二次方程的解法 直接开 平方法 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，两边同时开平方，转化为两个一元一次方程求解 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再直接开平方 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝____________求解 因式分 解法　 将一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化为a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，再通过解一元一次方程求解 4 1．_______叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常 用希腊字母“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.判别式的符号决定了方程根 的情况，即 (1)Δ>0⇔方程有两个_________的实数根． (2)Δ＝0⇔方程有两个_______的实数根． (3)Δ<0⇔方程_______实数根． 知识点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 b2－4ac 不相等 相等 没有 5 求字母取值范围时的注意事项 对于二次项系数含有字母的方程，根据根的情况求字母的取值范围时，若指明是一元二次方程，则牢记二次项系数不为0这一条件；若未指明方程类型，则需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论． 6 2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋ x2＝________，x1x2＝________. 7 应用根与系数关系的注意点 (1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化成一般形式； (2)应用x1＋x2＝－ 时，不要漏掉“－”； (3)应用根与系数关系公式的前提： ①二次项系数a≠0； ②判别式Δ≥0. 8 一元二次方程的应用 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审，即审清题意，找出题中的已知量、未知量． (2)设，即设出关键未知数． (3)列，即找出等量关系，列方程． (4)解，即解方程． (5)验，即检验结果是否正确或是否有实际意义． (6)答，回归题中，规范作答． 知识点4 9 2．应用题中常见的等量关系 (1)增长率等量关系： 增长率＝增长量÷基础量×100%. 一般类型：设原来量为a，平均增长(下降)率为x，则一次增长(下降)后的值为a(1±x)，两次增长(下降)后的值为a(1±x)2. (2)利润等量关系： 利润＝售价－成本(进价)， 10 (3)利息等量关系： 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息； 利息税＝利息×税率． (4)行程等量关系： 路程＝速度×时间． 11 例1 (2021·枣庄)若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程 x2－6x＋n＝0的两个根，则n的值为_______． 命题点1 解一元二次方程 (10年6考) 8或9 12 练1 用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是(　　) A．(x＋1)2＝3 B．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝3 D．(x－1)2＝6 练2 (2020·枣庄)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0 有一个根为x＝0，则a＝________． C -1 13 练3 解方程：x2－2x－35＝0. 解：原方程可以变形为(x－7)(x＋5)＝0， ∴x1＝7，x2＝－5. 14 一元二次方程根的判别式 (10年5考) 例2 (2019·枣庄改编)已知关于x的方程ax2＋2x－3＝0有实数根，则 a的取值范围是_______________． 命题点2 a≥－ 且a≠0 15 练4 如果关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，那么m的值 是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 练5 (2022·东营)关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个 不相等的实数根，则k的取值范围是__________． D k<2且k≠1 16 一元二次方程的实际应用 (10年0考) 例3