对称化构造求解圆锥曲线-2023届高三数学二轮复习讲义

高考解题新方法系列·增刊 增刊一 2023 届 T8 联考中的对称化构造求解圆锥曲线 对应系列讲义目录：第二讲 圆锥曲线·对称化构造巧解定点定值问题 选题出处：2023 届八省八校（T8）第一次联考 题目所占分值：5+12=17 1．（2023 届 T8 联考第 8 题）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     ，直线 l过坐标原点并交椭圆于 ,P Q 两点（P 在第一象限），点 A是 x轴正半轴上一点，其横坐标是点 P横坐标的 2 倍，直线QA交椭圆于点 B，若直线 BP 恰好是以 PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 3 D． 6 3 【求解】设        1 1 1 1 2 2 1, , , , , , 2 ,0P x y Q x y B x y A x  ，直线 , ( ),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为 1 2 3, ,k k k ， 直线 BP恰好是以 PQ为直径的圆的切线,则 PQ PB ,则 1 3 1k k   ,则     1 1 2 1 1 1 1 0 1 2 3 3 y yk k x x x        ，∴ 32 1 3 k k   ， ∵ 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 21, 1 x y x y a b a b     ，两式相减得 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0 x x y y a b     ，∴ 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y y y b x x x x a        ，即 2 2 3 2 bk k a   ， ∴ 2 2 1 3 b a    ，∴ 2 2 1 3 b a  ，∴ 2 2 2 2 2 21 3 c be a a     ，∴椭圆的离心率 6 3 e  ，故选:D． 【解题用时】3 分钟 2．（2023 届 T8 联考第 21 题）已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的准线与 x轴的交点为 H，直线过抛物线 C的 焦点 F且与 C交于 A，B两点， HAB 的面积的最小值为 4． （1）求抛物线 C的方程； （2）若过点 17 ,1 4 Q      的动直线 l交 C于 M，N两点，试问抛物线 C上是否存在定点 E，使得对任意的直线 l，都有 EM EN ，若存在，求出点 E的坐标；若不存在，则说明理由． 【求解】（1） AB斜率不为零，设 : 2 pAB x y  代入 2 2 ( 0)y px p  ， 2 22 0y p y p   ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 21 2 1 22 ,y y p y y p    ， 1 2 1 2HAB S p y y  △   2 1 2 1 2 1 4 2 p y y y y     2 2 2 2 21 4 4 1 2 p p p p      ， 当 0  时， HABS△ 取最小值 2p ， 2 4p  ， 2p  ，抛物线 C的方程为： 2 4y x ． （2）设 ),(),,(),,( 002211 yxEyxNyxM ，因为 NM , 都在抛物线上 高考解题新方法系列·增刊 故满足 12 12 21 2 2 21 2 1 444 xx yy yy xyxy      因为 11 20 20 10 10        xx yy xx yykk ENEM ，由于要构造对称式，故我们分别代换两个斜率得：                       0010022021 0020011012 0120 20 0210 10 44 44 14 14 yxyxyxyyxy yxyxyxyyxy yyxx yy yyxx yy ， 作差得： )())(4( 1201201221 xxyyyxxyxy  ① 根据课本两点式方程可知： )()( 12121221 1 1 21 21 yyxxxyxyxy xx yy xx yy       因为恒过 )1, 4 17(Q ， )( 4 17)(1 12121221 1 1 21 21 yyxxxyxy xx yy xx yy       ② ①②比较系数得：              1