1.4.2角平分线 教案 2022—2023学年北师大版数学八年级下册

第1章 三角形的证明 课题 1.4.2　三角形三个内角的平分线 授课人 CQY 教学目标 1. 会证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 2．会利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的计算及证明. 教学重点 三角形三条内角平分线的性质. 教学难点 综合运用角平分线的判定定理和性质定理解决几何中的问题. 授课类型 新授课 课时 1课时 教学活动 教学步骤 师生活动 设计意图 环节一： 创设情境、导入新课 【课堂引入】 上节课我们学习了角平分线的性质和判定，下面请同学们画出三角形三个内角的平分线，并猜想它们的特点．你发现了什么？能证明自己发现的结论一定正确吗？ 通过对问题的思考，一方面锻炼学生动手操作的好习惯，另一方面让学生感悟结论的真实性，从而引出新课. 环节二： 实践探究、交流新知 【探究新知】 1.猜想：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 2.验证： 如何利用我们学过的基本事实和已证的定理来证明这个结论呢？你可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明它吗？请同学们类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的证法写出已知、求证，并尝试完成证明过程．试一试. 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF. 证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理，PE＝PF. ∴PD＝PE＝PF. ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 即∠A的平分线经过点P. 3.结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 1.学生分组讨论，探讨证明的思路，培养学生自主解决问题的能力． 2.引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程，突出上节课所学的三角形角平分线的性质定理和判定定理的应用. 环节三： 开放训练、体现应用 【典型例题】　　 例　(教材第31页例3)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD＝4 cm，求AC的长； (2)求证：AB＝AC＋CD. 解：(1)∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝4 cm. ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠BAC. ∵∠C＝90°， ∴∠B＝×90°＝45°. ∴∠BDE＝90°－45°＝45°. ∴BE＝DE＝4 cm. 在等腰直角三角形BDE中， 由勾股定理，得BD＝4 cm， ∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4)cm. (2)证明：由(1)的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL)． ∴AC＝AE. 又∵BE＝DE＝CD， ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD. 【变式训练】 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F. (1)求证：PE＝PF； (2)若∠BAC＝60°，连接AP，则∠EAP＝30°． 解：过点P作PD⊥BC于点D. ∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PD＝PE，PD＝PF. ∴PE＝PF. 引导学生类比三角形三边垂直平分线的位置关系的证明思路和方法进行思考，加深学生对三角形角平分线的性质的理解与应用． 环节四： 课堂检测、 巩固新知 【课堂检测】 1.如图所示，△ABC是一块草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(C) A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 2．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝1，求△ABC的面积？ 解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OE＝OF＝OD＝1. ∵△ABC的周长是20， ∴AB＋BC＋AC＝20. ∴S△ABC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝(AB＋BC＋AC)×1＝×20×1＝10. 针对本课时的重难点，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. 环节五： 课堂小结、 整体感知 1.课堂小结： 本节课学到了什么知识？ 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点