三角形中的最值、范围问题专题训练-2023届高三数学二轮复习

冲刺2023年高考二轮　三角形中的最值、范围问题专题训练 （原卷+答案） 1．已知在△ABC中，∠A＝120°，∠A的角平分线与BC相交于点D. (1)若AC＝2AB＝2，求CD的长； (2)若AD＝1，求△ABC面积的最小值． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，·＝，b sin A＝4(sin A cos C＋cos A sin C). (1)求a的长度； (2)求△ABC周长的最大值． 3.如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2b cos A＝2c－a. (1)求角B； (2)若sin A·sin C＝sin 2B，AD＝CD＝2，求四边形ABCD面积的最大值． 4．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝，∠ABD＝∠ACD＝，设∠CAD＝θ，θ∈. (1)若θ＝，求CD的长； (2)当θ为何值时，△BCD的面积取得最大值，并求出该最大值． 5.△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a＝c cos B＋b sin C. (1)求C的大小； (2)若△ABC为锐角三角形且c＝，求a2＋b2的取值范围． 6．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝tan B＋tan C. (1)求角C的值； (2)若c＝2，D为AB的中点，求中线CD的范围． 参考答案 1．解析：(1)因为AC＝2AB＝2，∠A＝120°， 利用余弦定理可得：BC2＝AC2＋AB2－2AB×AC×cos ∠A＝7，故BC＝， 在△ABD中，＝，在△ACD中，＝， 两式相除可得＝＝，又BD＋CD＝，所以CD＝. (2)根据题意得△ABC的面积等于△ABD的面积与△ACD的面积之和， 又AB＝c，AC＝b，所以××bc＝××b×1＋××c×1， 整理得：bc＝b＋c又bc＝b＋c≥2，当且仅当b＝c＝2时取等号， 故≥2，则bc≥4，所以S△ABC＝××bc≥××4＝， 故△ABC面积的最小值为. 2．解析：(1)由b sin A＝4(sin A cos C＋cos A sin C)＝4sin (A＋C)＝4sin B，得b sin A＝4sin B， 由正弦定理得ab＝4b，得a＝4. (2)由·＝，得bc cos A＝， 由余弦定理得bc·＝，得b2＋c2＝25， 由25＝b2＋c2≥2bc，∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝25＋2bc≤50， ∴b＋c≤5， 所以三角形ABC周长的最大值为4＋5. 3．解析：(1)由正弦定理得：2sin B·cos A＝2sin C－sin A， 所以2sin B·cos A＋sin A＝2sin (A＋B)＝2sin A cos B＋2cos A sin B， 即sin A＝2sin A·cos B ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0⇒cos B＝， ∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)由sin A·sin C＝sin 2B，∴b2＝ac， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－b2， ∴a2＋c2＝2b2， ∴(a－c)2＝a2＋c2－2ac＝a2＋c2－2b2＝0， ∴a＝c， ∴△ABC为等边三角形，设AC＝x，∠ADC＝θ， 在△ADC中，cos θ＝，解得x2＝8－8cos θ， S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝x2＋2sin θ＝(8－8cos θ)＋2sin θ ＝4sin ＋2， 当θ－＝，即θ＝时，S有最大值4＋2. 4．解析：(1)在△ABD中，由余弦定理可得， AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos ∠ABD＝4＋3－2×2×＝1， ∴AD＝1， 在△ACD中，由正弦定理可得，＝， ∴CD＝＝. (2)由第(1)问知，在△ABD中，AB＝2，BD＝，AD＝1， ∴AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝， 在△ACD中，由正弦定理可得，＝， ∴DC＝＝2sin θ， ∵∠BDC＝π－θ－－＝－θ， ∴S△BCD＝DC·BD·sin ∠BDC＝sin θ·sin ＝sin θcos θ－sin 2θ＝sin 2θ－× ＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin －， ∵θ∈，∴2θ＋∈， ∴当2θ＋＝，即θ＝时，sin ＝1， 此时△BCD面积的最大值为－＝. 5．解析：(1)由a＝c cos B＋b sin C及正弦定理可得 sin B sin C＋cos B sin C＝sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 所以sin B sin C＝sin B cos C， 因为B、C∈(0，π)，则sin B>0，cos C＝sin C>0，则tan C＝，故C＝. (2)依题意，△ABC为锐角三角形且c＝，由正弦