2022年中考数学复习精讲—几何最值模型—瓜豆原理专题

几何最值模型—“瓜豆原理”专题 瓜豆原理是几何图形中，从一个动点的运动轨迹中，探究找寻另一个动点的运动轨迹的过程，所谓“种瓜得瓜，种豆得豆。”那么如何理解瓜豆原理呢？ 基础模型 直线轨迹 已知 定点A，动点P和Q，∠PAQ=α， 图示 A、P、Q三点共线 A、P、Q三点不共线 结论 当点P的轨迹在直线上时，点Q的轨迹在直线上 1) P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于α 2) P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ 圆 轨 迹 已知 定点A，动点P和Q，∠PAQ=α， 图示 A、P、Q三点共线 A、P、Q三点不共线 结论 当点P的轨迹在圆上时，点Q的轨迹在圆上 1) 两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角，即∠OAM=∠PAQ=α 2) 主从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆的半径之比， 即 “瓜豆原理”模型 01 认识模型 例1：如图，点A是一个定点，点P是圆O上一个动点，连接PA作线段AQ⊥AP，且使。如果P点的运动轨迹是圆，那么Q点的运动轨迹也是圆。 例2：如图，点A是定点，点P是直线上的动点，连接PA作线段AQ⊥AP，且使。如果P点的运动轨迹是直线，那么Q点的运动轨迹也是直线。 这两个例子中，都有一个定点A，一个主动点P，从动点Q随着点P的变化而变化。 如果P点的运动轨迹是直线，那么Q点的运动轨迹也是直线(种线得线)；如果P点的运动轨迹是圆，那么Q点的运动轨迹也是圆。 02 确定模型  对于一个定点A，一个主动点P，一个从动点Q。确定是否符合瓜豆原理，只需要判断下面两点。 1 夹角∠PAQ固定 例如上面两个例子里这个夹角都是固定的90度。即使特殊情况，夹角是0度，即三点在一条直线上也是符合条件的。 2 两边比例(AP:AQ)固定 例如上面两个例子里，。 练习一下，如下图，点A是定点，点P是圆O上的动点，连接AP，Q是AP的中点，问点Q的运动轨迹是什么？ 定点A，主动点P，从动点Q 按照上面的方法， 1 夹角∠PAQ=0°，固定。 2 两边比例AP:AQ=2，固定。 符合瓜豆原理，所以点Q的运动轨迹也是圆(图中虚线的圆)。 03 模型原理 如图。定点P，主动点A，从动点B。 点A沿直线运动到A′时，点B沿直线运动到B′。 瓜豆原理的条件：∠APB=∠A′PB′=α，。 ∵∠APB=∠A′PB′=α， ∴∠APA′=∠BPB′； ∵PA:PB=PA′:PB′， ∴△APA′∽△BPB′。 即瓜豆原理的核心是△APA′与△BPB′相似(特殊情况是全等)，即动态相似。 如果是解答题或证明题，不能直接应用瓜豆原理的结论，可以很自然的想到构造三角形相似(全等)。 04 结论 瓜豆原理的结论是：从动点的运动轨迹与主动点的运动轨迹一致。 (一)轨迹是直线的情况 可以得到结论： ①AA′:BB′=PA:PB ②两运动轨迹直线的夹角等于条件中的定角，即∠ACB=∠APB (二)轨迹是圆的情况 可以得到结论： ①P到两个圆心的距离比，两圆的半径比都等于PA:PB(定值)。 即PA:PB=PM:PN=MA:NB ②定点与圆心连线夹角等于条件中的定角，即∠MPN=∠APB 以上这些是经常用到的结论，大家一定要熟悉(有兴趣的同学可以自己证明)。 05 抽图训练 利用瓜豆原理快速确定从动点的运动轨迹。关键是判断条件是否符合瓜豆原理。下面举一些例子，大家练习一下瓜豆原理的判定，如果图形复杂，可以把定点，主动点，从动点抽图来确认条件(题目中用颜色表示)。篇幅有限，只给出轨迹。 例1：在平面直角坐标系中，正方形AOCB，点A(0，3)，点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，连接OE，则OE的最小值是 。 确认模型：定点A，主动点D，从动点E。 确认条件： ①夹角∠EAD=45°(固定) ②两边比例AE:ED= (固定) 参照下图，点E的轨迹与点D相同，是一条直线(可以找两个特殊点来确定直线位置)。参考答案：。 例2：在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值是 。 确认模型：定点A，主动点B，从动点C。 确认条件： ①夹角∠BAC=60°(固定) ②两边比例AB:AC=1(固定) 参照下图，点C的轨迹与点B相同，是一条射线去掉端点(因为y轴正半轴不包含原点O，可以找两个特殊点来确定位置)。参考答案：2。 例3：在直角△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=12，点D为AC中点，点P为AB上的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点